Зовні-описаний чотирикутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Зовні-описаний чотирикутник ABCD
   Зовні-описаний чотирикутник ABCD
   Зовні-вписане коло чотирикутника ABCD

В Евклідовій геометрії зовні-описаний чотирикутник[1] — опуклий чотирикутник, у якого продовження всіх чотирьох сторін є дотичними до кола поза чотирикутником. Через що також має назву зовні-дотичний чотирикутник.[2]:cтор.44;

Коло, яке торкається продовжень сторін чотирикутника, називається зовні-вписаним колом (англ. exscribed circle або скорочено excircle). Його центр Ic лежить на перетині шести бісектрис кутів чотирикутника, а саме: двох бісектрис протилежних внутрішніх кутів (при вершинах А та С на мал.), двох бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника (при вершинах В та D на мал.), та двох бісектрис кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.[3]:cтор.64

Проте чотирикутник має інші вписані ззовні кола (англ. escribed circle), що торкаються ззовні до сторони чотирикутника та продовжень двох суміжних його сторін (ці кола не слід плутати з зовні-вписаним колом чотирикутника). Так, всі опуклі чотирикутники мають чотири вписаних ззовні кола, водночас вони можуть мати щонайбільше одне зовні-вписане коло.[3]:cтор.71

В трикутнику ці два кола тотожні, та мають назву зовнівписане коло трикутника.

Особливі випадки

[ред. | ред. код]
Дельтоїд є одночасно зовні-описаним та описаним чотирикутником

Всі дельтоїди є зовні описаними чотирикутниками. І одночасно в кожен дельтоїд можна вписати коло.

Паралелограми (до яких належать квадрати, ромби та прямокутники) можна вважати зовні-описаними чотирикутниками з нескінченним радіусом зовні-вписаного кола, так як вони мають властивості зовні-описаних чотирикутників, які описано нижче, але зовні-вписане коло не може бути дотичним до обох пар продовжень протилежних сторін (оскільки вони паралельні).[3]:cтор.76

Опуклі чотирикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію, завжди є зовні описаними чотирикутниками, оскільки вони задовольняють умовам для довжин суміжних сторін, що наведені нижче.

Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним

[ред. | ред. код]

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

А саме: дві бісектриси протилежних внутрішніх кутів, дві бісектриси зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника та дві бісектриси кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

Ця спільна точка є центром зовні-вписаного в чотирикутник кола.

  • Теорема Штейнера. Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами AB = a, BC = b, CD = c, AD = d є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли сума двох сусідніх сторін дорівнює сумі двох інших сторін. Це було доведено Якобом Штейнером в 1846 році.[4]

При цьому можливі два випадки:

,

 

 

 

 

(1)

або

 

 

 

 

(2)

У першому випадку зовні-вписане коло знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах A або C (за межами чотирикутника), а в другому випадку воно знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах B або D.

Поєднуючи рівності (1) та (2), отримаємо умову, що чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли абсолютне значення різниць довжин його протилежних сторін є рівними для двох пар протилежних сторін,[3]:cтор.64

Ці рівності тісно пов'язані з теоремою Піто для описаного чотирикутника, яка стверджує, що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

  • Теорема Уркхарта

Якщо в опуклому чотирикутнику ABCD протилежні сторони перетинаються в точках E і F, то[5],[6]

Висновок зліва направо названо на честь Л. М. Уркхарта (1902—1966), хоча він був доведений задовго до цього Аугустусом Де Морганом у 1841 році.

Даніель Педо назвав цю теорему найелементарнішою теоремою в евклідовій геометрії, оскільки вона стосується лише прямих ліній і відстаней.[5]:cтор.167

Еквівалентність була доведена Моваффаком Хаджа (Mowaffaq Hajja)[5], що робить рівність праворуч ще однією необхідною та достатньою умовою для того, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником

[ред. | ред. код]

Зовні-описаний чотирикутник тісно пов'язаний з описаним чотирикутником, у якого всі сторони дотичні до кола (всередині чотирикутника).

Кілька метричних характеристик описаних чотирикутників (лівий стовпчик у таблиці) мають схожі аналоги для зовні-описаних чотирикутників (середній і правий стовпчики в таблиці).[3] Таким чином, опуклий чотирикутник має вписане коло або зовні-вписане коло поза відповідною вершиною чотирикутника тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з п'яти необхідних і достатніх умов, наведених нижче.

Вписане коло Зовні-вписане коло поза вершинами A обо C Зовні-вписане коло поза вершинами B або D
Елементи зовні-описаного чотирикутника

В наведених рівностях: Точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD.

  • R1, R2, R3,R4 — радіуси кіл, описаних навколо трикутників △ABP, △BCP, △CDP, △DAP;
  • h1, h2, h3, h4 — висоти цих трикутників, тобто відстані від точки P до сторін a = AB, b = BC, c = CD, d = DA відповідно;
  • p1, p2, та q1, q2, — відстані до точки P від вершин A, С та B, D відповідно;
  • x, y, z, w — кути ∠ABD, ∠ADB, ∠BDC, ∠DBC відповідно;
  • r1, r2, r3, r4 — радіуси кіл, вписаних ззовні в чотирикутник, які дотикаються ззовні до сторін a, b, c, d відповідно та продовжень двох суміжних сторін чотирикутника.

Пряма Ньютона

Нехай чотирикутник ABCD є описаним, або зовні-описаним. Якщо точки M та N — середини його діагоналей, а точка О — центр вписаного кола (або зовні-вписаного), то точки M, N, O — колінеарні, тобто лежать на одній прямій.[7]:cтор.2 Лемма3

Формули

[ред. | ред. код]

Площа

[ред. | ред. код]

Площу зовні-описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:

Ця формула ідентична до формули площі описаного чотирикутника, і таким же чином виводиться з формули Бретшнайдера.

Радіус зовні-вписаного кола

[ред. | ред. код]

Радіус зовні-вписаного кола чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою: .[3]:cтор.76

де S площа зовні-описаного чотирикутника.

Для зовні-описаного чотирикутника радіус зовні-вписаного кола максимальний, якщо чотирикутник є також і вписаним, тобто для зовні-біцентричного чотирикутника.

Також ці формули показують, що паралелограми (також і ромби, квадрати та прямокутники) мають нескінченний радіус зовні-вписаного кола, позаяк їх протилежні сторони рівні.

Зовні-біцентричний чотирикутник

[ред. | ред. код]
Зовні-описаний чотирикутник, який також є вписаним в коло.

Якщо зовні-описаний чотирикутник є одночасно і вписаним, тобто має описане коло, то він називається зовні-біцентричним чотирикутником.[2]

Позаяк в цього чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, то:

А отже, його площу можна знайти за формулою:

Ця формула така ж як і для біцентричного чотирикутника.

Якщо x — відстань між центром описаного кола O та центром зовні-вписаного кола Ic , то[2]

де R — радіус описаного кола, а r — радіус зовні-вписаного кола.

Це те ж сама рівність, що і в теоремі Фусса для біцентричного чотирикутника. Однак, вирішуючи квадратне рівняння відносно х, потрібно обирати інший корінь, ніж той, що обирається для біцентричного чотирикутника. Таким чином, для зовні-описаного чотирикутника:[2]

З цієї формули випливає, що

це означає, що описане коло і зовні-вписане коло ніколи не можуть перетнутися.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Богомольний, Олександр. Pitot Theorem Quadrilaterals. www.cut-the-knot.org (англ.) . Процитовано 3 серпня 2023.
  2. а б в г Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum (2007), "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one" (PDF), т. 12, Mathematical Communications, с. 33—52
  3. а б в г д е Josefsson, Martin (2012), Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals (PDF), Forum Geometricorum, 12: 63—77, ISSN 1534-1178
  4. Ф. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, стор. 318.
  5. а б в Hajja, Mowaffaq (2006), A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry (PDF), Forum Geometricorum, 6: 167—169, ISSN 1534-1178
  6. Urquhart's Theorem. www.cut-the-knot.org. Процитовано 4 серпня 2023.
  7. Mhanna, Antoine (2023), TANGO-QUADRILATERALS

Посилання

[ред. | ред. код]

Extangential Quadrilateral На dynamicmathematicslearning.com