Народився в Адигеї, коли хлопцеві виповнився рік, його родина переїхала до станиці Натухаєвська, де і зараз живуть його батьки. Боротьбою почав займатися з 1995 року. Батько сам у минулому був борцем і привів дев'ятирічного сина до новоросійської ДЮСШ «Вікторія». Першим тренером був Володимир Ілліч Холодаєв. У 1999 році Ассакалова запросили до Краснодара, в училище олімпійського резерву. У 2009 році він став бронзовим призером чемпіонату Росії. Вважає, що його відверто засудили в поєдинку за вихід до фіналу. Бронзова нагорода не давала змоги виступати за збірну на турнірах найвищого рівня, тому Ассакалов вирішив покинути Росію. Хотів отримати українське громадянство, але для цього у нього попросили узяти фіктивний шлюб. Рустам на той час вже був одруженим, тому відмовився. Юрій Патрикєєв запропонував приїхати в Узбекистан і Ассакалов погодився. З 2012 року бореться за збірну команду цієї країни. Виступає за спортивний клуб «Динамо» Ташкент.
Два брати Рустама Ассакалова Руслан і Біслан — теж доволі відомі борці. Молодший брат Біслан Ассакалов у 2011 році виграв першість світу серед кадетів. У 2014 році завоював бронзову медаль на чемпіонаті Росії серед дорослих.
Олімпійський профіль. Сайт літніх Олімпійських ігор 2016 в Ріо-де-Жанейро. 23.08.2016. Архів оригіналу за 10 грудня 2016. Процитовано 09.06.2017. (англ.)