Теорема про зміну імпульсу системи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема про зміну імпульсу (кількості руху) системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Зв'язує кількість руху з імпульсом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл[1][2].

Формулювання теореми

[ред. | ред. код]

Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) усіх тіл, що входять у систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, це сума імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Теорема про зміну кількості руху системи стверджує[1][2]:

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Теорема допускає узагальнення в разі неінерційних систем відліку. У цьому випадку до зовнішніх сил необхідно додавати переносні та коріолісові сили інерції[3].

Доведення

[ред. | ред. код]

Нехай система складається з матеріальних точок з масами та прискореннями . Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

  • Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять до системи, що розглядається. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером , позначимо .
  • Внутрішні сили — це сили, з якими взаємодіють одне з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером діє точка з номером будемо позначати , а силу дії -ої точки на -ту точку — . Очевидно, що якщо , то

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються, у вигляді

Враховуючи, що , і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі відповідає сила така, що і, отже, виконується Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

Використовуючи для кількості руху системи позначення , отримаємо

Увівши зміну імпульсу зовнішніх сил , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніяк вплинути на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

де і  — значення кількості руху системи в моменти часу і відповідно, а  — імпульс зовнішніх сил за проміжок часу . Відповідно до сказаного раніше та введених позначень, виконується

Закон збереження кількості руху системи

[ред. | ред. код]

З теореми про зміну кількості руху системи випливає, що за відсутності зовнішніх сил (замкнута система), а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю виконується і . Інакше кажучи, справедливе співвідношення

Отже, маємо висновок:

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина стала.

Це твердження становить зміст закону збереження кількості руху системи[1][2].

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на напрям. Тоді дорівнює нулю і зміна проєкції кількості руху системи на цей напрямок, тобто, як кажуть, зберігається кількість руху в цьому напрямку.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

[ред. | ред. код]
Основне джерело: [4]

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яке виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа. Теорема про зміну кількості руху системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує[4]:

Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у будь-який момент поступальне переміщення системи паралельно до деякої нерухомої осі , то похідна за часом від проєкції кількості руху системи на вісь дорівнює сумі проєкцій на ту ж вісь всіх зовнішніх активних сил, що діють на систему.

«Активні» стосовно сил (нижче у формулах їх позначено символом ) означає «ті, що не є реакціями зв'язків».

Дійсно, за умовою, в будь-який момент усі точки системи допускають зміщення на паралельно до нерухомої осі . Замінюючи в загальному рівнянні динаміки на , отримуємо:

або

або

остаточно знаходимо:

У передостанньому рівнянні до суми активних сил включено зовнішні активні та внутрішні активні сили. Однак геометрична сума внутрішніх активних сил, як попарно рівних та протилежних, дорівнює нулю, тому в остаточному рівнянні представлено лише зовнішні (введено додатковий значок від англ. external) активні сили.

Історія

[ред. | ред. код]

Про закон збереження кількості руху Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року, писав: «Кількість руху, одержувана беручи суму кількостей руху, коли вони здійснюються в один бік, і різницю, коли вони відбуваються в боки протилежні, не змінюється від взаємодії тіл між собою»[5]. Коментатор, у зв'язку з цим формулюванням, зазначає, що, хоча в ньому розглянуто лише випадок руху тіл уздовж однієї прямої, І. Ньютон, як показують його інші висловлювання в тій самій книзі, у своїх поглядах цим окремим випадком не обмежувався[5].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — ISBN 5-06-003117-9.
  2. а б в Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 157—159.
  3. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
  4. а б Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
  5. а б Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М. : Наука, 1989. — С. 45. — (Классики науки) — ISBN 5-02-000747-1.