Єгипетський дріб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Єгипетський дріб — це в математиці сума різних одиничних дробів типу \frac{1}{n}, наприклад \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{16}. Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.

Історія[ред.ред. код]

Стародавній Єгипет[ред.ред. код]

Додаткову інформацію за даним питанням див. в Єгипетська система числення.

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф

D21

(ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:

D21
Z1 Z1 Z1
= \frac{1}{3}
D21
V20
= \frac{1}{10}

У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).

Aa13
= \frac{1}{2}
D22
= \frac{2}{3}
D23
= \frac{3}{4}

Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.

Наприклад, так:
D21
V1 V1 V1
V20 V20
V20 Z1
= \frac{1}{331}

При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.

Античність і Середньовіччя[ред.ред. код]

Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».

Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Алгоритм Фібоначчі[ред.ред. код]

Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб \frac{m}{n} розкладається на 2 доданки:

\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil}+\frac{(-n)\,\bmod\, m}{n\lceil n/m\rceil}.

Тут \lceil n/m\rceil — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а ~(-n)\,\bmod\, m — (додатня) остача від ділення -n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:

\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}

Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:

\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.

Сучасна теорія чисел[ред.ред. код]

Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.

  • В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше
O\left(\frac{y\log^2 y}{\log\log y}\right)

і з числом доданків не більше:

O\left(\sqrt{\log y}\right)
  • Гіпотеза Ердеша - Грехема[en] стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 квітів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що
\sum_{n\in S}1/n = 1.

Ця гіпотеза доведена Ернестом Крутом[en] в 2003 році.

Відкриті проблеми[ред.ред. код]

Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.

\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.
Комп'ютерні експерименти показують, що гіпотеза вірна для всіх n ≤ 1014, але доказ поки не знайдено. Узагальнення цієї гіпотези стверджує, що для будь-якого позитивного k існує N таке, що для всіх nN існує розкладання
\frac{k}{n} = \frac1x + \frac1y + \frac1z.
Ця гіпотеза належить Анджею Шинцелю[en].

Література[ред.ред. код]

  • Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
  • Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
  • Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
  • Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
  • Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
  • Beeckmans, L. (1993). «The splitting algorythm for Egyptian fractions». Journal of Number Theory 43. с. 173–185. 
  • Botts, Truman (1967). «A chain reaction process in number theory». Mathematics Magazine. с. 55–65. 
  • Breusch, R. (1954). «A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512». American Mathematical Monthly 61. с. 200–­201. 
  • Bruins, Evert M. (1957). «Platon et la tabl égyptienne 2/n». Janus 46. с. 253–263. 
  • Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics,. Holt, Reinhard, and Winston. 0-03-029558-0. 
  • Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. ISBN 0-486-24315-X. 
  • Graham, R. L. (1964). «On finite sums of reciprocals of distinct nth powers». Pacific Journal of Mathematics 14 (1). с. 85–92. 
  • Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. Leipzig: S. Hirzel. 
  • Knorr, Wilbur R. (1982). «Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece». Historia Mathematica 9. с. 133–171. 
  • Lüneburg, Heinz (1993). Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag. ISBN 3-411-15461-6. 
  • Martin, G. (1999). «Dense Egyptian fractions». Transactions of the American Mathematical Society 351. с. 3641–3657. 
  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8. 
  • Robins, Gay; Shute, Charles (1990). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. Dover. ISBN 0-486-26407-6. 
  • Stewart, B. M. (1954). «Sums of distinct divisors». American Journal of Mathematics 76. с. 779–­785. 
  • Stewart, I. (1992). «The riddle of the vanishing camel». Scientific American (June). с. 122–­124. 
  • Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. с. 20–25. ISBN 0-486-60255-9. 
  • Takenouchi, T. (1921). «On an indeterminate equation». Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3. с. 78–92. 
  • Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). «Length and denominators of Egyptian fractions». Journal of Number Theory 35. с. 150–­156. 
  • Vose, M. (1985). «Egyptian fractions». Bulletin of the London Mathematical Society 17. с. 21. 
  • Wagon, S. (1991). Mathematica in Action. W.H. Freeman. с. 271–­277. 

Посилання[ред.ред. код]