Ідеал (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ідеал — спеціального роду підоб'єкт в деяких алгебраїчних структурах. Найважливішу роль ідеали відіграють при вивченні кілець, а також напівгруп, алгебр над кільцем та ін.

Назва «ідеал» веде своє походження від «ідеальних чисел». Простими прикладами ідеалів може служити підкільце парних чисел в кільці цілих чисел. Ідеали дають зручну мову для узагальнення результатів теорії чисел на загальні кільця.

Наприклад, в кільцях замість простих чисел вивчаються прості ідеали як узагальнення взаємно простих чисел вводяться взаємно прості ідеали, можна довести аналог китайської теореми про залишки для ідеалів.

У деякому важливому класі кілець (дедекіндових) можна навіть отримати аналог основної теореми арифметики: у цих кільцях кожен ненульовий ідеал можна єдиним чином представити як добуток простих ідеалів.

[ред.] Визначення

Для кільця R ідеалом називається підкільце замкнене відносно множення на елементи з R.

Для напівгрупи S ідеалом називається під-напівгрупа замкнена відносно множення на елементи з S.

Визначення ідеала алгебри аналогічне.

Ідеал називається лівим (правим), якщо він замкнутий відносно множення зліва (справа) на елементи кільця (напівгрупи чи алгебри). Ідеал, що є одночасно лівим та правим, називається двостороннім чи просто ідеалом. Для комутативного кільця всі три поняття співпадають.