Ідеал (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ідеалпідструктура з певними властивостями в абстрактній алгебрі. Спочатку виникло поняття ідеал кільця, пізніше було узагальнено для інших алгебраїчних структур.

Найважливішу роль ідеали відіграють при вивченні кілець, напівгруп, алгебр над кільцем та ін.

Назва «ідеал» веде своє походження від «ідеальних чисел». Ідеали дають зручну мову для узагальнення результатів теорії чисел на загальні кільця.

Прикладом ідеала може служити підкільце парних чисел в кільці цілих чисел, позначають 2Z.

Ідеал в абстрактній алгебрі[ред.ред. код]

Для кільця R ідеалом називається підкільце замкнене відносно множення на елементи з R. Для напівгрупи S ідеалом називається під-напівгрупа замкнена відносно множення на елементи з S. Визначення ідеала алгебри аналогічне. Ідеал називається лівим (правим), якщо він замкнутий відносно множення зліва (справа) на елементи кільця (напівгрупи чи алгебри). Ідеал, що є одночасно лівим та правим, називається двостороннім чи просто ідеалом. Для комутативного кільця всі три поняття збігаються.

Більш точно: Ідеалом кільця R називається таке підкільце I кільца R, що

  1. \forall i \in I\;\forall r\in R добуток ir \in I (умова на праві ідеали);
  2. \forall i \in I\;\forall r\in R добуток ri \in I (умова на ліві ідеали).

Додаткові відомості[ред.ред. код]

У кільцях замість простих чисел вивчаються прості ідеали як узагальнення взаємно простих чисел вводяться взаємно прості ідеали, можна довести аналог китайської теореми про залишки для ідеалів.

У деякому важливому класі кілець (дедекіндових) можна навіть отримати аналог основної теореми арифметики: у цих кільцях кожен ненульовий ідеал можна єдиним чином представити як добуток простих ідеалів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]