Ізометрична проекція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Прямокутна ізометрична проекція деталі типу «Втулка», виконана на основі її ортогональних проекцій

Ізометри́чна прое́кція — це різновид аксонометричної проекції, при якій у відображенні тривимірного об'єкта на площину коефіцієнт спотворення[1] по всіх трьох осях однаковий. Термін «ізометрична» в назві проекції прийшов з грецької мови і означає «однаковий розмір» (isos — однаковий, рівний + metria — розмір, вимірювання), відбиваючи той факт, що в цій проекції масштаби по всіх осях одинакові. В інших видах проекцій це не так.

Ізометрична проекція використовується в технічному кресленні і САПР для побудови наочних зображень деталей на креслениках, а також в комп'ютерній графіці для побудови тривимірних об'єктів і панорам.

Слід зазначити, що паралельні проекції, різновидом яких є аксонометричні і, в тому числі ізометричні проекції поділяються на ортогональні (перпендикулярні), з напрямом проекціювання перпендикулярним до площини проекції, і косокутні, з кутом між напрямом і площиною, відмінним від прямого.

За ДСТУ 3321:2003[2] та ГОСТ 2.317-69[3] аксонометричні проекції можуть бути і ортогональними, і косокутними.

Стандартні ізометричні проекції[3][2][ред.ред. код]

Розташування осей координат в ізометричних проекціях
Isometric orthogonal projection.svg Isometric Dimetric oblique front projection.svg Isometric oblique floor projection.svg
Прямокутній Косокутній фронтальній Косокутній горизонтальній

Прямокутна (ортогональна) ізометрична проекція[ред.ред. код]

У прямокутній ізометричній проекції аксонометричні осі утворюють між собою кути у 120°, вісь Z' спрямована вертикально. Коефіцієнти спотворення (k_x, k_y, k_z) мають числове значення \sqrt{ \frac{2}{3}} \approx 0,82. Зазвичай, для спрощення побудов ізометричну проекцію виконують без спотворень по осях, тобто коефіцієнт спотворення приймають рівним 1, у цьому випадку отримують збільшення лінійних розмірів в \frac{1}{0,82} \approx 1,22 рази.

Косокутна фронтальна ізометрична проекція[ред.ред. код]

Вісь Z' спрямована вертикально, кут між віссю X' і Z' становить 90°, вісь Y' розташована з кутом нахилу 135° (допускається 120° та 150°) до осі Z'.

Фронтальна ізометрична проекція виконується по осях X', Y' і Z' без спотворення. Криві, що паралельні до фронтальної площини проектуються без спотворень.

Косокутна горизонтальна ізометрична проекція[ред.ред. код]

Вісь Z' спрямована вертикально, між осями Z' і Y' кут нахилу становить 120° (допускається 135° і 150°), при цьому зберігається кут між осями X' та Y' рівним 90°.

Горизонтальну ізометричну проекцію виконують без спотворень по осях X', Y' та Z'.

Криві, які паралельні до горизонтальної площини[4] проектуються без спотворень.


Візуалізація[ред.ред. код]

Ізометричний вид об'єкта можна отримати, обравши напрям огляду таким чином, щоб кути між проекцією осей X, Y та Z були однаковими і становили 120°. Для прикладу, якщо взяти куб, це можна виконати спрямувавши погляд на одну з граней куба, після чого повернути куб на ±45° навколо вертикальної осі і на ±arcsin (tan 30°) ≈ 35,264° навколо горизонтальної осі. При цьому контур ізометричної проекції куба утворить правильний шестикутник.

Інший шлях візуалізації ізометричної проекції полягає у розгляді виду кубічної кімнати з верхнього кута з напрямом погляду у протилежний нижній кут. Вісь X тут спрямована діагонально вниз і вправо, вісь Y — діагонально вниз і вліво, вісь Z — прямо вгору. Лінії, проведені здовж осей утворюють між собою кут 120°.

Матричні перетворення[ред.ред. код]

Існує вісім різних варіантів отримання ізометричної проекції в залежності від того, у який октант дивиться спостерігач. Ізометричне перетворення точки a_{x,y,z} у тривимірному просторі в точку b_{x,y} на площині при погляді у перший октант може бути математично описане за допомогою матриць повороту наступним чином. Спочатку, виконується поворот навколо горизонтальної осі (тут x) на α = arcsin (tan 30°) ≈ 35,264° і навколо вертикальної осі (тут y) на β = 45°:


\begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x \\
   \mathbf{c}_y \\
   \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos\alpha} & {\sin\alpha}  \\
   0 & { - \sin\alpha} & {\cos\alpha}  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   {\cos\beta } & 0 & { - \sin\beta }  \\
   0 & 1 & 0  \\
   {\sin\beta } & 0 & {\cos\beta }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x \\
   \mathbf{a}_y \\
   \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}
   \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3}  \\
   1 & 2 & 1  \\
   \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x \\
   \mathbf{a}_y \\
   \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}

Далі виконується ортогональна проекція на площину x-y:


\begin{bmatrix}
   \mathbf{b}_x \\
   \mathbf{b}_y \\
   0 \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x \\
   \mathbf{c}_y \\
   \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}

Інші сім можливих видів отримуються поворотом до протилежно розташованих напрямів та/чи інверсією напряму погляду.[5]

Обмеження аксонометричної проекції[ред.ред. код]

Ізометричний рисунок з блакитною кулькою, що розташована на два рівні вище від червоної

Як і в інших видах паралельних проекцій, об'єкти в аксонометричній проекціях не виглядають більшим або меншими при наближенні чи віддаленні від спостерігача. Це є корисним в архітектурних креслениках і зручним у спрайто-орієнтаваних комп'ютерних іграх, але, на відміну від перспективної (центральної) проекції, приводить до відчуття спотворення, оскільки оком чи при фотографуванні об'єкти сприймаються по іншому.

Часто виникають ситуації, коли глибину і висоту неможливо оцінити, як продемонстровано на ілюстрації приведеній справа. На цьому ізометричному рисунку блакитна кулька розташована на два рівні вище за червону, але цього неможливо побачити, якщо дивитись лише на ліву половину картинки. Якщо виступ, на якому знаходиться блакитна кулька, розширити на один квадрат, то він опиниться точно поряд з квадратом, на якому знаходиться червона кулька, створюючи оптичну ілюзію, ніби то обидві кульки перебувають на одному рівні.

Додаткова проблема, що є специфічною для ізометричної проекції — складність визначення, який бік об'єкту спостерігається. За відсутності тіней і для об'єктів, що є взаємно перпендикулярними і сумірними, складно визначити, яка із сторін є верхньою, нижньою чи бічною. Це стається через приблизну рівність за розміром і площею проекцій такого об'єкту.

Більшість сучасних комп'ютерних ігор переважно базуються на перспективній тривимірній графіці. Однак експлуатація проекційних ілюзій є популярною в оптичному мистецтві — такому, як роботи з серії «неможливої архітектури» Ешера. Водоспад (1961) — гарний приклад, у якому будівля в основному ізометрична, у той же час як блідий фон використовує перспективну проекцію. Друга перевага полягає у тому, що у кресленні навіть новачки легко можуть будувати кути в 60° з використанням циркуля та лінійки.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Коефіцієнт спотворення — відношення довжини спроектованого на площину паралельного до координатної осі відрізка, до дійсної довжини відрізка
  2. а б ДСТУ 3321:2003 Система конструкторської документації. Терміни та визначення основних понять.
  3. а б По ГОСТ 2.317-69 — Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
  4. Тут під горизонтальною мається на увазі площина, що є перпендикулярною до осі Z (що є прообразом осі Z').
  5. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations 10 ACM (грудень 1978) С. 465—502. — DOI:10.1145/356744.356750.

Джерела[ред.ред. код]

  • Інженерна графіка: креслення, комп'ютерна графіка: Навчальний посібник / За ред. А. П. Верхоли. — К.: Каравела, 2005. — 304 с. — Вища освіта в Україні. — ISBN 966-8019-35-0
  • Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7
  • Фролов С. А. Начертательная геометрия. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1983. — 240 с.

Посилання[ред.ред. код]