Ізометрія (математика)

Ізометрія, або рух, або (рідше) накладення — бієкція (перетворення), яка зберігає відстань між відповідними точками, тобто якщо $A'$ і $B'$ — образи точок $A$ і $B$ , то $|A'B'|=|AB|$. Термін «ізометрія» поширеніший в метричній геометрії, зокрема, в рімановій геометрії. У загальному випадку метричного простору (наприклад, для неплоских ріманових многовидів) руху можуть існувати далеко не завжди.

Термін «рух» поширеніший в евклідовій геометрії і суміжних областях.

У евклідовому (або псевдоевклідовому) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі скалярні добутки.

У цій статті нижче мається на увазі евклідів простір.

Види ізометрії

На площині

• Осьова симетрія (відбиття);
• Паралельний перенос;
• Обертання;
• Ковзна симетрія — композиція переносу на вектор, що паралельний до прямої, і симетрії цієї прямої.

У тривимірному просторі

• Дзеркальна симетрія (відбиття) щодо площини;
• Паралельний перенос;
• Поворот;
• Ковзна симетрія — композиція перенесення на вектор, що паралельний до площини, і симетрії цієї площини;
• Дзеркальне обертання — композиція повороту навколо деякої прямої і відбиття відносно площини, що перпендикулярна осі повороту;
• Гвинтове накладання — композиція повороту відносно деякої прямої і перенесення на вектор, що паралельний цій прямій.

У n-вимірному просторі

У $n$-мірному просторі рухи зводяться до всіх ортогональним перетворень, паралельних переносів і композицій того й іншого.

У свою чергу ортогональні перетворення можуть бути представлені як композиції (власних) обертань і дзеркальних відбиттів.

Загальні властивості ізометрії

• Композиція ізометрій також є ізометрією.
• Ізометрії щодо композиції утворюють групу.
• Ізометрия — афінне перетворення.
• Ізометрия переводить відрізок у відрізок.

Рухи як композиції симетрій

Композиція двох відбиттів щодо незбіжних паралельних осей дає паралельний перенос.

Композиція двох відбиттів щодо непаралельних осей дає поворот.

Будь-яку ізометрію в $n$-мірному евклідовому просторі можна представити у вигляді композиції не більше ніж $n+1$ відбиттів.

Так, паралельний перенос і поворот — композиції двох відбиттів, ковзне відбиття і дзеркальний поворот — трьох, гвинтове накладення — чотирьох.