Ізометрія (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ізометрія, або рух, або (рідше) накладення — бієкція (перетворення), яка зберігає відстань між відповідними точками, тобто якщо A' і B' — образи точок A і  B , то |A'B'|=|AB|. Термін «ізометрія» поширеніший в метричній геометрії, зокрема, в рімановій геометрії. У загальному випадку метричного простору (наприклад, для неплоских ріманових многовидів) руху можуть існувати далеко не завжди.

Термін «рух» поширеніший в евклідовій геометрії і суміжних областях.

У евклідовому (або псевдоевклідовому) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі скалярні добутки.

У цій статті нижче мається на увазі евклідів простір.

Види ізометрії[ред.ред. код]

На площині[ред.ред. код]

У тривимірному просторі[ред.ред. код]

  • Дзеркальна симетрія (відбиття) щодо площини;
  • Паралельний перенос;
  • Поворот;
  • Ковзна симетрія — композиція перенесення на вектор, що паралельний до площини, і симетрії цієї площини;
  • Дзеркальне обертання — композиція повороту навколо деякої прямої і відбиття відносно площини, що перпендикулярна осі повороту;
  • Гвинтове накладання — композиція повороту відносно деякої прямої і перенесення на вектор, що паралельний цій прямій.

У n-вимірному просторі[ред.ред. код]

У n-мірному просторі рухи зводяться до всіх ортогональним перетворень, паралельних переносів і композицій того й іншого.

У свою чергу ортогональні перетворення можуть бути представлені як композиції (власних) обертань і дзеркальних відбиттів.

Загальні властивості ізометрії[ред.ред. код]

Рухи як композиції симетрій[ред.ред. код]

Композиція двох відбиттів щодо незбіжних паралельних осей дає паралельний перенос.
Композиція двох відбиттів щодо непаралельних осей дає поворот.

Будь-яку ізометрію в n-мірному евклідовому просторі можна представити у вигляді композиції не більше ніж n+1 відбиттів.

Так, паралельний перенос і поворот — композиції двох відбиттів, ковзне відбиття і дзеркальний поворот — трьох, гвинтове накладення — чотирьох.

Див. також[ред.ред. код]