Ізоморфізм груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ізоморфі́зм групбієктивний гомоморфізм груп.

Визначення[ред.ред. код]

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення \ \phi групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

 \phi : G \rightarrow H: \quad \phi(x * y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Приклади[ред.ред. код]

(\R, +) \cong (\R^+, \times)

через ізоморфізм \ f(x) = e^x (див. експонента).

Автоморфізм групи[ред.ред. код]

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція

 \phi : G \rightarrow G: \quad \phi(x * y) = \phi(x) * \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

\exist a \in G \;\; \forall x \in G : \quad  \phi(x) = a *x * a^{-1}.

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішним автоморфізмом.

  • Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
  • Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
  • Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
  • Факторгрупа Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]