Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $\phi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$, що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi \colon G\rightarrow H\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G$.

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Приклади

• Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

• Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатних дійсних чисел з множенням:

$(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )$

через ізоморфізм $f(x)=e^{x}$ (див. експонента).

Автоморфізм групи

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи $(G,*)$ в себе. Тобто бієкція

$\phi \colon G\rightarrow G\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)*\phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G$.

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

$\exists a\in G\;\;\forall x\in G\colon \quad \phi (x)=a*x*a^{-1}$.

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.

• Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
• Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів $G$, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів $G$, позначається — $\operatorname {Aut} (G)$.
• Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в $\operatorname {Aut} (G)$, і позначається — $\operatorname {Inn} (G)$.
• Фактор-група $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)$ називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — $\operatorname {Out} (G)$.

Див. також

• Ізоморфізм
• Гомоморфізм груп
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)