Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $\ \phi$ групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi : G \rightarrow H: \quad \phi(x * y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.$

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Приклади

• Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

• Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатніх дійсних чисел з множенням:

$(\R, +) \cong (\R^+, \times)$

через ізоморфізм $\ f(x) = e^x$ (див. експонента).

Автоморфізм групи

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція

$\phi : G \rightarrow G: \quad \phi(x * y) = \phi(x) * \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.$

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

$\exist a \in G \;\; \forall x \in G : \quad \phi(x) = a *x * a^{-1}.$

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішним автоморфізмом.

• Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
• Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
• Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
• Факторгрупа Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).

Див. також

• Ізоморфізм
• Гомоморфізм груп
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Курош А.Г. Теория групп третє. — С. 648. — Москва : Наука, 1967. ISBN 5-8114-0616-9.
• Кон П. Универсальная алгебра. — С. 351. — Москва : Мир, 1968.