Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Зміст

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $\ \phi$ групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi : G \rightarrow H: \quad \phi(x * y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.$

Ізоморфні групи з точки зору теорії груп є еквівалентними.

Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатніх дійсних чисел з множенням:

$(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)$

через ізоморфізм $\ f(x) = e^x$ (див. експонента).

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція

$\phi : G \rightarrow G: \quad \phi(x * y) = \phi(x) * \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.$

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

$\exist a \in G \;\; \forall x \in G : \quad \phi(x) = a *x * a^{-1}.$

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішним автоморфізмом.

Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
Фактор-група Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).