Ікосаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер рівне 30, число вершин — 12.

Формули[ред.ред. код]

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра а, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

S=5\sqrt3a^2

V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3

r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a

R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a

R=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a

Декартові координати[ред.ред. код]

Золоті прямокутники в ікосаедрі

Такі декартові координати визначають вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)

де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте, що ці набори вершин формують взаємно відцентровані і взаємно ортогональні золоті прямокутники.

Властивості[ред.ред. код]

  • Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра усередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба
  • В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.
  • Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней додекаедра.
  • У ікосаедр можна вписати додекаедр, притому вершини додекаедра будуть суміщені з центрами граней ікосаедра.

В фізичному світі[ред.ред. код]

Розгортка ікосаедра

Посилання[ред.ред. код]