Ікосаедр

Ікосаедр, натисніть тут для обертання моделі

Ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер рівне 30, число вершин — 12.

Формули

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра а, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

$S=5\sqrt3a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

$r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$

$R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a$

$R=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$

Декартові координати

Золоті прямокутники в ікосаедрі

Такі декартові координати визначають вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте, що ці набори вершин формують взаємно відцентровані і взаємно ортогональні золоті прямокутники.

Властивості

• Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра усередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба
• В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.
• Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней додекаедра.
• У ікосаедр можна вписати додекаедр, притому вершини додекаедра будуть суміщені з центрами граней ікосаедра.

В фізичному світі

Розгортка ікосаедра

• Капсиди багатьох вірусів (наприклад, бактеріофаги, мімівірус).

Посилання

• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Paper Models of Polyhedra Many links
• Origami Polyhedra — Models made with Modular Origami