Імпеданс

Імпеданс — комплексний опір.

Позначається здебільшого Z, вимірюється в Омах.

Імпеданс визначається, як

$Z = R + iX$,

де R — активний опір, X — реактивний опір.

Імпеданс можна записати у тригонометричній формі:

$Z = |Z| (\cos\varphi +i \sin \varphi)$,

де |Z| — це абсолютна величина імпедансу, а $\varphi$ — фаза.

Абсолютна величина імпедансу дорівнює

$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$.

Використання імпедансу дозволяє при розрахунках електричних кіл визначати водночас амплітуду й фазу струму й напруги на елементах кола.

Дане поняття було вперше введене в науковий обіг Олівером Хевісайдом у 1886.

Імпеданс по Страттону

В світі, котрий переповнений різноманітністю, досить зручно вводити величини, а потім спекулювати (в сенсі рефлексії) над їхніми значеннями. Для дилетанта група осцилюючих параметрів, які мають відношення до мережі першопричин, мають мало значення такі поняття, як змінний струм в системі із індуктивних котушок та конденсаторів. Проте електрична ланка може бути побудована так, що її поведінка та вібрації механічної системи можуть бути сформульовані одними і тими самими диференційними рівняннями. І між механічними та електричними системами буде повна відповідність. Струм замінює швидкість, напруга — силу; а маса та еластичні властивості джерела замінюється індуктивністю та ємністю конденсатора. Таким чином виходить, що одна абсолютна реальність речей звичних, проте мало зрозумілих, в силу інерції переноситься на іншу, поки що мало звичну…, і тому маса та індуктивність є лише представниками, чи іменами категорій, що за ними приховуються.

Якими би філософськи значимими не були механічні, електричні та хімічні аналогії, фізики досить добре скористалися ними в процесі своїх досліджень. Техніка розроблена на протязі 1910- 1940-х років для аналізу електричних схем була успішно впроваджена в механічних системах, котрі ще недавно були мало зрозумілі для осмисленого використання. Тому проблеми механіки найбільш складних випадків були відтворені їх електричними аналогіями, котрі з легкістю досліджувалися в лабораторіях. Не тільки методи, але і концепції електричних ланок були розширені на інші галузі фізики. Звичайно, найбільш важливою із них була концепція імпедансу, який визначається через відношення напруг та струмів у випадку амплітуд та фази (для змінного струму). Ця ідея була використана в механіці для відношення сили до швидкості, і в гідромеханіці та акустиці для вимірювання відношення тиску до потоку.

Розширення концепції імпедансу на електромагнітні поля — не нова, оскільки вона була розроблена в цікавій статі Щелкунофа. Імпеданс, який приписується середовищу при розповсюдженні хвилі, тісно зв'язаний з енергією потоку, проте щоб вияснити його складну природу необхідно розпочати з аналогії одномірної лінії передачі, як це і зробив Щелкуноф.

Нехай вздовж осі $z$ розташована лінія передачі, в якій маємо змінний струм $V = V_0E^{-i\omega t}$, $I = I_0E^{-i\omega t}$ — відповідно напруга та струм в довільній точці осі $z$. Величини $V_0$, $I_0$ є функції тільки від координати $z$. Опір лінії на одиницю довжини — $R$, а її індуктивність на одиницю довжини — $L$. Тут звичайно присутній витік вздовж лінії, який відображається величиною провідності $G$, та шунтуючої ємності $C$. Імпенданс $Z$ та повна провідність $Y$ можуть бути представлені у формі:

$Z = R - i\omega L,$ $Y = G - i\omega C$

в той час, коли напруга та струм задовольняють умовам:

$\frac{\partial V \;}{\partial z \;} = -ZI,$ $\frac{\partial I \;}{\partial z \;} = -YV.$

Ці рівняння задовольняють дві системи розв’язків, що відображають хвилі. Перша розповсюджується в позитивному напрямі, а друга — в негативному:

$I_1 = A_1 e^{ikz - i\omega t},$ $V_1 = Z_0I_1,$

$I_2 = A_2 e^{ikz - i\omega t},$ $V_2 = - Z_0I_2,$

де $k = i\sqrt{YZ}$; $Z_0 = \sqrt{Z/Y}.$

$k$- константа поширення хвиль, а $Z_0$- характеристичний імпеданс лінії передачі.

Тепер можна розглянути плоску електромагнітну хвилю, що розповсюджується в напрямі визначеного об'єднаного вектору $\mathbf{n}$. Відстань, в цьому напрямі буде вимірюватися координатою $\xi$, і ми припускаємо, що залежність від часу буде визначатися фактором $e^{-i\omega t}$. Оскільки напруга та струм є скалярні величини, але напруженості електромагнітного поля $\mathbf{E}$ та $\mathbf{H}$ — звичайно вектори. Для встановлення фіксованого алгебраїчного знаку в рівняннях, необхідно використати конвенцію представлення векторів $\mathbf{E}$ та $\mathbf{H}\cdot \mathbf{n}$, котрий є паралельний до вектора $\mathbf{E}$ і направлений в ту саму сторону.

$\frac{\partial E \;}{\partial \zeta \;} = i\omega \mu (\mathbf{H}\cdot \mathbf{n}),$ $\frac{(\partial \mathbf{H}\cdot \mathbf{n} \;)}{\partial \zeta \;} = i(\omega \epsilon + i\sigma )\mathbf{E}$

Звідси знаходимо значення імпедансу та повної провідності:

$Z = -\omega \mu,$ $Y = - i(\omega \epsilon + i\sigma ).$

Константа поширення є

$k = i\sqrt{YZ} = \sqrt{\omega ^2\epsilon \mu + i\omega \mu \sigma}$

Оскільки внутрішній імпеданс середовища для плоскої хвилі, визначений Щелкунофом є:

$Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = \sqrt{\frac{\omega \mu}{\omega \epsilon + i\sigma} } = \frac{\mu \omega}{\sqrt{\alpha ^2 + \beta ^2}}e^{-i\gamma}.$

тому у вільному просторі (вакуум) цей імпеданс редукує до величини:

$Z_0 = \sqrt{\mu _0 / \epsilon _0} = 376,6$ ohms.

Припускаючи, що вектор $\mathbf{n}$ направлений вздовж напряму розповсюдження, тому розрізнення між позитивними та негативними хвилями стає вже непотрібним, тоді взаємозв’язок між електричними векторами стає:

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{E} = Z_0\mathbf{H},$ $\mathbf{E} = Z_0\mathbf{H}\cdot \mathbf{n}.$

Тут присутній досить тісний зв'язок між внутрішнім імпедансом та комплексним вектором Пойнтінга:

$\mathbf{S}^* = \frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot \mathbf{H} = \frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{E}}{Z_0} = \frac{1}{2Z}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{E})\mathbf{n},$

і тому відповідно маємо

$Z_0 = \frac{1}{2}\frac{E^2}{S^*}$.

Література

• Stratton J., 1941, Electromagnetic Theory (NY, Mcgraw- Hill).
• Schelkunoff, Bell System Tech,J.,17,17,january,1938

Посилання

• http://lib.org.by/info/P_Physics/PE_Electromagnetism/Stratton%20J.A.%20Electromagnetic%20Theory%20(MGH,%201941)(T)(631s)_PE_.djvu