Інволюція (математика)

Інволюційна функція $f: X\to X$ застосована двічі повертає нас в початкову точку.

Інволюція (інволюційна функція) — в математиці, це функція, що є оберненою сама до себе.

Формально, це бієктивне відображення $f: X \mapsto X,$ що має властивість

$f(f(x)) = x, \quad \forall x \in X.$

Властивості

• $\forall x: \qquad f^{-1}(x) = f(x).$
• $\forall x, \exists y: \ f(x) = y , \ f(y) = x.$

Перестановки

Перестановка $\ \tau$ є інволюцією, якщо $\tau \circ \tau = id$. Кожна інволюція є добутком транспозицій. Наприклад: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$

Інволюція в Евклідовій геометрії

• Інволюціями є всі симетрії (центральна, осьова) а також інверсія відносно кола.

Інволюція в лінійній алгебрі

В лінійній алгебрі інволюція — це лінійний оператор $\ T$, що має властивість $\ T^2 = I.$

Інволюція пов'язана з ідемпотентними операціями:

• Якщо $\ a$ — ідемпотент, то $\ \pm(1-2a)$ є інволюціями.

• Якщо $\ b$ — інволюція, тоді $\frac{1-b}{2}$ та $\frac{1+b}{2}$ є ортогональними ідемпотентами.