Інволюція (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Інволюційна функція f: X\to X застосована двічі повертає нас в початкову точку.

Інволюція (інволюційна функція) — в математиці, це функція, що є оберненою сама до себе.

Формально, це бієктивне відображення f: X \mapsto X, що має властивість

f(f(x)) = x, \quad \forall x \in X.

Властивості[ред.ред. код]

  • \forall x: \qquad f^{-1}(x) = f(x).
  • \forall x, \exists y: \ f(x) = y , \ f(y) = x.

Перестановки[ред.ред. код]

Перестановка \ \tau є інволюцією, якщо \tau \circ \tau = id. Кожна інволюція є добутком транспозицій. Наприклад: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)

Інволюція в Евклідовій геометрії[ред.ред. код]

  • Інволюціями є всі симетрії (центральна, осьова) а також інверсія відносно кола.

Інволюція в лінійній алгебрі[ред.ред. код]

В лінійній алгебрі інволюція — це лінійний оператор \ T, що має властивість \ T^2 = I.

Інволюція пов'язана з ідемпотентними операціями:

  • Якщо \ a — ідемпотент, то \ \pm(1-2a) є інволюціями.