Інтеграли Френеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.

Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.

Розкладання у ряд[ред.ред. код]

Нормализовані інтеграли Френеля, S(x) и C(x). На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює \pi t^2 /2, а не t^2, як на рисунку вище.

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Деякі автори використовують в якості аргументу тригонометричних підінтегральных функцій \frac{\pi}{2}t^2. Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у \sqrt{\frac{2}{\pi}} разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.

Спіраль Корню[ред.ред. код]

Спиіаль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль прямує до центрів отворів за t \rightarrow +\infty.
Докладніше: Клотоїда

Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.

Оскільки,

C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1,

то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t являеться довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.

Кривизна цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.

Властивості[ред.ред. код]

  • C(x) и S(x) — непарні функції x.
S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Обчислення[ред.ред. код]

Контур, що використовується для обчислення граничного значення інтегралів Френеля.

Границі функцій C и S за x \rightarrow \infty можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції

e^{-\frac{1}{2}t^2}

по границі сектору на комплексной плоскости, що утворений віссю абсцис, променем y=x, x \geqslant 0 і колом з радіусом R з центром на початку координат.

При R \rightarrow \infty інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона

 \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 
\sqrt{\frac {\pi}{2}},

і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.

Дивіться також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) (англ.)

Посилання[ред.ред. код]