Інтегральна формула Пуассона

Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена ​​умова рівності на границі функції u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: $u(r, \varphi)\in C^2(D)\cap C(\overline{D}),\ u_0(\varphi)\in C^1(\partial D)$, де ∂D — границя кулі D, а $\overline{D}$ — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:

$u(r,\varphi)= \frac{R^2 - r^2}{\omega_n R} \int\limits_{\partial D} \frac{u_0(\psi)}{|r - \psi|^n}\,dS(\psi),\ r\in[0; R),$

где ω_n — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.

Для двовимірного простору

Нехай f(z) є функція, аналітична всередині і на межі кола К радіуса R (за центр кола, ми візьмемо, наприклад, початок координат). Для довільної точки $z=e^{ir}$, що лежить всередині K, ми маємо за формулою Коші:

$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{K}\frac{f(\psi)}{z-\psi}\,d\psi =\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(Re^{i\psi})\frac{Re^{i\psi}}{Re^{i\psi}-re^{i\psi}}\,d\psi$, (1)

Розглянемо z* симетричну відносно К, тобто $z*=\frac{R^2}{\bar{z}}=\frac{R^2}{r}e^{i\psi}$. Оскільки точка z* не належить К то функція $\frac{f(z)}{\psi-z*}$ буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо: $0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{K}\frac{f(\psi)}{z*-\psi}\,d\psi=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(Re^{i\psi})\frac{re^{i\psi}}{re^{i\psi}-Re^{i\phi}}\,d\psi$, (2)

Віднімаємо від (1) рівність (2):

$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(Re^{i\psi})(\frac{Re^{i\psi}}{Re^{i\psi}-re^{i\phi}}-\frac{re^{i\psi}}{re^{i\psi}-Re^{i\phi}})d\psi$

яка після елементарних перетворень виглядатиме:

$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(Re^{i\psi})\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rrcos(\phi-\psi)+r^2}d\psi$

Порівнюючи ліву і праву частини рівності, отримаємо формулу:

$U(r, \psi)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}U(r, \psi)\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rrcos(\phi-\psi)+r^2}d\psi$, (3)

яка носить назву інтегральна формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.

Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і $\psi$ (або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продифференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.

Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:

$U(0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}U(R, \psi)d\psi$

тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на

межі цього кола.

Литература

• И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984