Інтегральне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегральне рівняннярівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,

 \varphi(t) = f(t) + \lambda \int_a^b K(t,s)\,\varphi(s)\,ds \ (t \in [a, b])

або

 \varphi(t) = f(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)\,\varphi(s)\,ds \ (t \in [a, b]).

Тут  K(t,s) і  f(t) — задані функції, а  \varphi(t) — шукана. Функцію  K(t,s) називають ядром інтегрального рівняння, а  f(t) вільним членом;  \lambda — параметр (з \mathbb{R} або \mathbb{C}). Між інтегральними рівняннями та диференційними рівняннями існує тісний зв'язок, деякі задачі можуть бути сформульовані обидвома способами. Наприклад, рівняння Максвела

Основні види інтегральних рівнянь[ред.ред. код]

Лінійні рівняння[ред.ред. код]

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

 f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

 \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

 f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt
 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння[ред.ред. код]

Рівняння Урисона[ред.ред. код]

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

Стала M  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна[ред.ред. код]

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

де K(x,\;s) — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна[ред.ред. код]

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Нелінійне Рівняння Вольтерра[ред.ред. код]

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

де функція F(x,\;s,\;\varphi) неперервна за всіма своїми змінними.

Література[ред.ред. код]

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.