Інтегральне рівняння

Інтегральне рівняння — рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,

$\varphi(t) = f(t) + \lambda \int_a^b K(t,s)\,\varphi(s)\,ds \ (t \in [a, b])$

або

$\varphi(t) = f(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)\,\varphi(s)\,ds \ (t \in [a, b])$.

Тут $K(t,s)$ і $f(t)$ — задані функції, а $\varphi(t)$ — шукана. Функцію $K(t,s)$ називають ядром інтегрального рівняння, а $f(t)$ — вільним членом; $\lambda$ — параметр (з $\mathbb{R}$ або $\mathbb{C}$). Між інтегральними рівняннями та диференційними рівняннями існує тісний зв'язок, деякі задачі можуть бути сформульовані обидвома способами. Наприклад, рівняння Максвела

Основні види інтегральних рівнянь

Лінійні рівняння

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

$f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.$

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

$\varphi(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.$

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

$f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt$

$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.$

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння

Рівняння Урисона

$\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).$

Стала $M$  — деяке додатнє число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

$\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,$

де $K(x,\;s)$ — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots$

Нелінійне Рівняння Вольтерра

$\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,$

де функція $F(x,\;s,\;\varphi)$ неперервна за всіма своїми змінними.

Література

• М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
• В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.