Інтегральне рівняння Абеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегральне рівняння Абеляінтегральне рівняння вигляду

\int_{0}^{x} \phi(s)(x-s)^{\frac{1}{2}} \, ds = f(x)

де \ f(x) — відома функція, \ \phi(x) — функція, яку потрібно знайти. Отримане і розвязане Н. Абелем в 1823 при розгляді руху матеріальної точки у вертикальні площині під дією сили тяжіння, по деякій криві поверхні. Рівняння Абеля часто виникає при розвязку обернених задач, наприклад з визначення потенціальної енергії за періодом коливань, чи при відновленні поля розсіяння за ефективним перерізом в класичній механіці. Це рівняння належить до класу рівняннь Вольтерра першого роду. Розглядають також узагальнене інтегральне рівняння Абеля

\int_{a}^{x} \phi(s)(x-s)^{\alpha} \, ds = f(x),

де 0< \alpha <1. Якщо f(x) неперервно диференційовна функція, то рівняння має єдиний неперервний розвязок

\phi(x) = \frac{\sin{\pi \alpha}}{\pi} \frac{d}{dx} \int_a^x \frac{f(t)dt}{(x-t)^{1-\alpha}}

В класі узагальнених функцій розв'язок існує при будь-яких \alpha

Література[ред.ред. код]

  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959
  • Михлин С.Г. Лекции по линейним интегральним уравнениям, М., 1959
  • Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.