Інтеграл Борвейна

У математиці, Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками Девідом Борвейном та Джонатаном Борвейном в 2001 році. Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій $\mathrm {sinc} (x)$.Функція sinc визначається як $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ де $x\neq 0$ та $\mathrm {sinc} (0)=1$.

Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Ця закономірність продовжується до

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.$

Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\approx {\frac {\pi }{2}}-2{,}31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення ${\frac {\pi }{2}}$ ,якщо числа $3,5,7,\ldots$ замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за $1$ .

У наведеному вище прикладі, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{13}}<1,$ але ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1.$

З включенням додаткового множника $2\cos(x)$ закономірність витримує більш довший ряд:

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},$

але

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{113}}\,{\rm {d}}x<{\frac {\pi }{2}}.$

У цьому випадку, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{111}}<2,$ але ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{113}}>2.$

Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення. Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.

Загальна формула

Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел , $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, можна представити загальну формулу для інтеграла

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x.$

Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають $a_{k}$. Зокрема, якщо $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ набір з $n$ чисел, де кожне $\pm 1$, то тоді запишемо $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, що є певним зкакозмінним рядом декількох перших $a_{k}$, та покладемо $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, де $\pm 1$. У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n},$

де

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{\gamma }).$

У випадку, якщо $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, то $C_{n}=1$.

Крім того, якщо існує $n$ що для кожного $k=0,\ldots ,n-1$ виконуються умови $0<a_{n}<2a_{k}$ та $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, тобто $n$ - перше значення за якого часткова сума перших $n$ елементів послідовності перевищує $a_{0}$, тоді $C_{k}=1$ для кожного $k=0,\ldots ,n-1$ але

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}.$

Розглянемо випадок коли $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$.

Якщо $n=7$ ,то $a_{7}={\frac {1}{15}}$ та ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0,955,$ але ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1,02.$

Оскільки $a_{0}=1$, то отримуємо формулу

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},$

яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}$

що дорівнює значенню, заданому вище.

Посилання

• Patterns That Eventually Fail [Архівовано 21 травня 2019 у Wayback Machine.], 20 September 2018
• Breakdown [Архівовано 2 липня 2020 у Wayback Machine.], 2 February 2012
• Illusive patterns in math explained by ideas in physics [Архівовано 27 вересня 2020 у Wayback Machine.], 19 July 2019
• (video) When random walkers help solving intriguing integrals [Архівовано 5 вересня 2020 у Wayback Machine.] 19 July 2019