Інтеграл Бохнера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграл Бохнера — це інтеграл для функцій, які приймають значення на банаховому просторі. По суті він є аналогом інтеграла Лебега для векторозначних функцій.

Прості і сильно вимірні функції[ред.ред. код]

Нехай маємо вимірний простір (\mathbb{R},\mathcal{R},\mu), де \mu — σ-скінченна міра.

Означення

Функцію f:\mathbb{R} \to X, де X — банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:

f(t) = \sum\limits_{k=1}^n c_k \mathcal{X}_{E_k}(t),

де  (c_k \in X; k=1...n) , а

E_i — вимірні, мають скінченну міру і такі, що  E_i \cap E_j =  \otimes .

Означення

Функцію f:\mathbb{R} \to X назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій \{f_n\}_{n=1}^\infty така, що

\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n (t) - f(t)||=0 \  (mod \mu)

Означення[ред.ред. код]

Означення

Інтеграл Бохнера від простої функції f:\mathbb{R} \to X по простору \mathbb{R} позначається символом  \int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t) і визначається так:

 \int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t) = \sum\limits_{k=1}^n c_k \mu (E_k)


Означення

Функція f:\mathbb{R} \to X називається інтегровною за Бохнером по простору \mathbb{R}, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій \{f_n\}_{n=1}^\infty така, що \lim_{n\rightarrow \infty}||f_n (t) - f(t)||=0 \  (mod \mu) та

\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_\mathbb{R} ||f_n (t) - f(t)||=0. \

Тоді існує границя

\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_\mathbb{R} f_n (t) d \mu (t) = \int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t), \

яка і називається інтегралом Бохнера від функції f на \mathbb{R}

Посилання[ред.ред. код]

  • Березанський Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функціональний аналіз. К.: «Вища школа», 1990. — 600 с.

Див. також[ред.ред. код]