Інтеграл Бохнера

Інтеграл Бохнера — це інтеграл для функцій, які приймають значення на банаховому просторі. По суті він є аналогом інтеграла Лебега для векторозначних функцій.

Прості і сильно вимірні функції

Нехай маємо вимірний простір $(\mathbb{R},\mathcal{R},\mu)$, де $\mu$ — σ-скінченна міра.

Означення

Функцію $f:\mathbb{R} \to X$, де $X$ — банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:

$f(t) = \sum\limits_{k=1}^n c_k \mathcal{X}_{E_k}(t)$,

де $(c_k \in X; k=1...n)$, а

$E_i$ — вимірні, мають скінченну міру і такі, що $E_i \cap E_j = \otimes$.

Означення

Функцію $f:\mathbb{R} \to X$ назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ така, що

$\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n (t) - f(t)||=0 \ (mod \mu)$

Означення

Означення

Інтеграл Бохнера від простої функції $f:\mathbb{R} \to X$ по простору $\mathbb{R}$ позначається символом $\int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t)$ і визначається так:

$\int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t) = \sum\limits_{k=1}^n c_k \mu (E_k)$

Означення

Функція $f:\mathbb{R} \to X$ називається інтегровною за Бохнером по простору $\mathbb{R}$, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ така, що $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n (t) - f(t)||=0 \ (mod \mu)$ та

$\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_\mathbb{R} ||f_n (t) - f(t)||=0. \$

Тоді існує границя

$\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_\mathbb{R} f_n (t) d \mu (t) = \int\limits_\mathbb{R} f(t)d \mu (t), \$

яка і називається інтегралом Бохнера від функції $f$ на $\mathbb{R}$

Посилання

• Березанський Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функціональний аналіз. К.: «Вища школа», 1990. — 600 с.

Див. також

• Інтеграл Лебега