Інтеграл Рімана

Геометричний сенс інтеграла Рімана

Інтегр́ал Р́імана — одне з найважливіших понять математичного аналізу. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу.

Неформальна геометрична інтерпретація

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури обмежену графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув фігури, які складаються з декількох вертикальних прямокутників отриманих при розбитті відрізка (див. малюнок). Якщо при «подрібненні» розбиття існує границя, до якої збігаються площі таких фігур (інтегральні суми), то цю границю називають інтегралом Рімана функції на відрізку.

Означення

Через інтегральні суми

Нехай на відрізку $\ [a,b]$ визначена дійсна функція дійсного аргументу $\ f(x)$ .

Розглянемо розбиття відрізка $\ a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$ — скінченна множина попарно різних точок відрізка. Це розбиття ділить відрізок $\ [a,b]$ на n відрізків $\ [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n$.

Довжина найбільшого з них $\ d = \max (\Delta x_i )$, де $\ \Delta x_i = x_i - x_{i-1}$, зветься діаметром розбиття.

Розглянемо на кожному відрізку розбиття точку $\xi _i \in [x_{i-1}, x_i]$. Інтегральною сумою зветься вираз $\sigma _x = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi_i )\Delta x_i }$.

Якщо при прямуванні діаметра розбиття до нуля інтегральні суми збігаються до одного й того ж числа, незалежно від вибору $\xi _i \in [x_{i-1}, x_i]$, то це число зветься інтегралом функції $\ f(x)$ на відрізку $\ [a,b]$, тобто

$\int\limits_a^b f(x)\,dx = \lim \limits_{d \to 0} \sigma _x$

У цьому випадку, сама функція $f(x)$ називається інтегровною (за Ріманом) на $[a,b]$; в протилежному випадку $f(x)$ є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку $[a,b]$.

Через суми Дарбу

Суми Дарбу для розбиття на чотири інтервала: нижня (площа зеленого) і верхня (площа зеленого і сірого)

Нехай на відрізку $[a,b]$ визначена дійсна функція дійсного аргументу $f(x)$. Розглянемо довільне розбиття відрізка $\Delta: a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$.

Верхньою сумою Дарбу для розбиття $\Delta$ називається число

$\overline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)\Delta x_{i}}$

Відповідно, нижньою сумою Дарбу для розбиття $\Delta$ називається

$\underline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\inf _{[x_{i-1},x_{i}]} f(x)\Delta x_{i}}$

Функція називається інтегровною за Ріманом, якщо існує дійсне число I для якого

$I=\sup_{\Delta} \underline{S}_{\Delta }=\inf_{\Delta} \overline{S}_\Delta$

У цьому випадку, за визначенням

$\int\limits_a^b {f(x)\,dx}=I.$

Властивості

• Якщо функція $F$ є первісною функції $f$, то інтеграл функції $f$ на відрізку $[a,b]$ можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює $F(b)-F(a)$.
• Неперервна на відрізку функція інтегровна за Ріманом. Розривні функції можуть бути інтегровними, але можуть і не бути; прикладом функції, не інтегровної за Ріманом, є всюди розривна функція Діріхле.
• Обмеження: Якщо функція $f$ інтегровна на відрізку $[a,b]$, то вона інтегровна й на меншому відрізку $[a_1,b_1]$, де $a\le a_1 < b_1\le b$.
• Якщо функція інтегровна на відрізку $[a,b]$ та на відрізку $[b,c]$, то вона інтегровна і на відрізку $[a,c]$, і $\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx$.
• Лінійність: Якщо функції $f$ і $g$ інтегровні, і $\alpha, \beta \in\R$, то функція $\alpha f + \beta g$ також інтегровна, і

$\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx$

• Границя: Якщо інтегровні функції $f_i$ рівномірно збігаються на відрізку $[a,b]$ до функції $f$, то $f$ інтегровна, і

$\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx$

Історія

Таке означення інтеграла дано Коші, але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році, дав це ж означення без припущення неперервності.

Див. також

• Інтеграл Бохнера
• Інтеграл Лебега
• Інтеграл Даніелла
• Інтеграл Стілтьєса
• Невластивий інтеграл

Література

• Фихтенгольц Г.М. (1964). Курс дифференциального и интегрального исчисления. том II. Москва: Наука. с. 800.  (рос.)
• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с. (рос.)