Інтеграл Стілтьєса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай маємо дві дійсні функції f ,\, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, P  — множину розбиттів відрізка [a,b]  -x_0 = a < x_1 < x_2 < \ldots < x_i < \ldots < x_n = b Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття c_i \in \left[x_i, x_{i + 1} \right]; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

\delta (P ) = \max_{x_i \in P} |x_{i + 1} - x_i |.
Інтеграл Стілтьєса позначається так:
\int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x)
і за означенням він рівний границі:
\lim_{\delta( P )\rightarrow 0} \sum_{x_i \in P} f(c_i) (g(x_{i+1}) - g(x_i))

У випадку, якщо g(x)=x  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку [a,b], тобто величина

V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,
була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості[ред.ред. код]

\int\limits_a^b f(x)\,dg = \int\limits_a^b f(x)g'(x)\,dx (у випадку існування останнього інтеграла).
  •  \int_a^b(f_1+f_2) \, dg =\int_a^b f_1 \, dg +\int_a^b f_2 \, dg .
  •  \int_a^b cf \, dg = c\int_a^b f \, dg.
  • Якщо  f_1 \leq f_2 тоді \int_a^b f_1 \, dg \leq \int_a^b f_2 \, dg .
  • Якщо  a < c < b тоді  \int_a^c f \, dg+ \int_c^b f \, dg = \int_a^b f \, dg
  •  \int_a^b f \,d(g_1 + g_2) = \int_a^b f \,dg_1 + \int_a^b f \,dg_2.
  •  \int_a^b f \,d(cg) = c\int_a^b f \,dg

В усіх попередніх рівняннях  c \in \mathbb{R} і вимагається існування інтегралів в правій частині.

  • Інтегрування частинами:
\int_a^b f(x) \, dg(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b g(x) \, df(x).

Застосування[ред.ред. код]

Головною областю застосування інтеграла Стілтьєса є теорія ймовірностей. Якщо g(x) є функцією розподілу випадкової змінної то математичне очікування E(|f(X)|) виражається формулою:

E(f(X))=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dg(x)

незалежно від дискретності чи неперервності випадкової змінної. У цьому суттєва перевага інтеграла Стілтьєса над звичайним інтегралом.

Література[ред.ред. код]

  • Г. М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Наука.