Інтеграл Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення

Нехай маємо дві дійсні функції $f ,\, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, P  — множину розбиттів відрізка $[a,b]$  -$x_0 = a < x_1 < x_2 < \ldots < x_i < \ldots < x_n = b$ Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття $c_i \in \left[x_i, x_{i + 1} \right]$; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

$\delta (P ) = \max_{x_i \in P} |x_{i + 1} - x_i |$.

Інтеграл Стілтьєса позначається так:

$\int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x)$

і за означенням він рівний границі:

$\lim_{\delta( P )\rightarrow 0} \sum_{x_i \in P} f(c_i) (g(x_{i+1}) - g(x_i))$

У випадку, якщо $g(x)=x$  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку $[a,b]$, тобто величина

$V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,$

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості

• Якщо функція g(x)  — диференційовна то має місце рівність:

$\int\limits_a^b f(x)\,dg = \int\limits_a^b f(x)g'(x)\,dx$ (у випадку існування останнього інтеграла).

• $\int_a^b(f_1+f_2) \, dg =\int_a^b f_1 \, dg +\int_a^b f_2 \, dg$.
• $\int_a^b cf \, dg = c\int_a^b f \, dg$.
• Якщо $f_1 \leq f_2$ тоді $\int_a^b f_1 \, dg \leq \int_a^b f_2 \, dg$.
• Якщо $a < c < b$ тоді $\int_a^c f \, dg+ \int_c^b f \, dg = \int_a^b f \, dg$
• $\int_a^b f \,d(g_1 + g_2) = \int_a^b f \,dg_1 + \int_a^b f \,dg_2$.
• $\int_a^b f \,d(cg) = c\int_a^b f \,dg$

В усіх попередніх рівняннях $c \in \mathbb{R}$ і вимагається існування інтегралів в правій частині.

• Інтегрування частинами:

$\int_a^b f(x) \, dg(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b g(x) \, df(x).$

Застосування

Головною областю застосування інтеграла Стілтьєса є теорія ймовірностей. Якщо $g(x)$ є функцією розподілу випадкової змінної то математичне очікування E(|f(X)|) виражається формулою:

$E(f(X))=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dg(x)$

незалежно від дискретності чи неперервності випадкової змінної. У цьому суттєва перевага інтеграла Стілтьєса над звичайним інтегралом.

Література

• Г. М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Наука.