Інтегрування

Визначений інтеграл як площа фігури

В математичному аналізі інтегралом функції називають розширення поняття суми. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням. Цей процес зазвичай використовується при знаходженні таких величин як площа, об'єм, маса, зсув тощо, коли задана швидкість або розподіл змін цієї величини по відношенню до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий результат.

Інтегрування — операція, обернена до диференціювання, див. основна теорема аналізу. В результаті невизначеного інтегрування виходить функція, яка називається первісною. Першим інтегралом є число (або, принаймні, не залежна від змінної інтегрування частина).

Історія

Інтеграл в давнину

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно у 1800 до н.е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму січної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н.е Лю Хуейєм, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгши для знаходження об'єму сфери.

Ньютон і Лейбніц

Знак інтеграла (∫), був вперше використаний Лейбніцом в кінці XVII століття. Цей символ утворився з букви ſ («довга s») — скорочення слова лат. ſumma (summa, сума).

Див. також

• Первісна
• Інтеграл Борвайна
• Інтеграл Даніеля
• Інтеграл Лебега
• Інтеграл Рімана
• Основна теорема аналізу
• Знак інтегралу
• Чисельне інтегрування
• Методи інтегрування
• Таблиця інтегралів
• Інтегрування основних класів елементарних функцій