Таблиця інтегралів

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Інтегрування є одною з двох основних операцій математичного аналізу. Тоді як диференціювання має прості правила, за якими можна знайти похідну складних функцій через диференціювання її складових функцій, для інтегралів це не так, і тому таблиці відомих первісних виявляються часто дуже корисними. На цій сторінці представлено список основних первісних.

C вживається як довільна стала інтегрування інтегрування, яку можна визначити якщо відомо значення інтеграла в якій-небудь точці.

Правила інтегрування функцій

$\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

$\int f(ax+b)\,dx={1 \over a}F(ax+b)\,+C$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int [f(x)-g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx$ , або, що те ж саме:

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$

Інтеграли простих функцій

Раціональні функції

$\int \,dx=x+C$

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,$ якщо $n\neq -1$

$\int {\frac {dx}{x}}\,=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C$

$\int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C$

Логарифмічні функції

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Показникові функції

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Ірраціональні функції

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C$

$\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\right|+C$

$\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\right|+C$

Тригонометричні функції

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} x\right|}+C$

$\int \operatorname {cosec} x\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\operatorname {tg} x+C$

$\int \operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=-\operatorname {ctg} x+C$

$\int \sec {x}\,\operatorname {tg} x\,dx=\sec {x}+C$

$\int \operatorname {cosec} x\,\operatorname {ctg} x\,dx=-\operatorname {cosec} x+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\operatorname {tg} x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx=-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C$

$\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C$

Обернені тригонометричні функції

$\int \arcsin {x}\,dx=x\,\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arccos {x}\,dx=x\,\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \operatorname {arctg} x\,dx=x\,\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\,\operatorname {arcsec} {x}+{\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}+C$

$\int \operatorname {arccosec} x\,dx=x\,\operatorname {arccosec} x+{\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}+C$

$\int \operatorname {arcctg} x\,dx=x\,\operatorname {arcctg} x+{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Гіперболічні функції

$\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C$

$\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C$

$\int \operatorname {th} x\,dx=\ln |\operatorname {ch} x|+C$

$\int \operatorname {csch} x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} {x \over 2}\right|+C$

$\int \operatorname {sech} x\,dx=\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} x)+C$

$\int \operatorname {cth} x\,dx=\ln |\operatorname {sh} x|+C$

$\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\operatorname {th} x+C$

Обернені гіперболічні функції

$\int \operatorname {arsh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arch} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {arth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arth} \,x+{\frac {1}{2}}\ln {(1-x^{2})}+C$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\ln {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-\operatorname {arctg} {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \operatorname {arcth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcth} \,x+{\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}-1)}+C$

Композитні функції

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$

$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$

$\int \cos ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\operatorname {ch} bx+b\cos ax\,\operatorname {sh} bx\right)+C$

$\int \sin ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\operatorname {sh} bx-a\cos ax\,\operatorname {ch} bx\right)+C$

Функції абсолютних величин

$\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx={(ax+b)^{n+2} \over a(n+1)\left|ax+b\right|}+C\,\,[\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]$

$\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={-1 \over a}\left|\sin {ax}\right|\operatorname {ctg} {ax}+C$

$\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={1 \over a}\left|\cos {ax}\right|\operatorname {tg} {ax}+C$

$\int \left|\operatorname {tg} {ax}\right|\,dx={\operatorname {tg} {ax}[-\ln \left|\cos {ax}\right|] \over a\left|\operatorname {tg} {ax}\right|}+C$

$\int \left|\operatorname {cosec} {ax}\right|\,dx={-\ln \left|\operatorname {cosec} {ax}+\operatorname {ctg} {ax}\right|\sin {ax} \over a\left|\sin {ax}\right|}+C$

$\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\ln \left|\sec {ax}+\operatorname {tg} {ax}\right|\cos {ax} \over a\left|\cos {ax}\right|}+C$

$\int \left|\operatorname {ctg} {ax}\right|\,dx={\operatorname {tg} {ax}[\ln \left|\sin {ax}\right|] \over a\left|\operatorname {tg} {ax}\right|}+C$

Спеціальні функції

$\int \operatorname {Ci} (x)dx=x\,\operatorname {Ci} (x)-\sin x$

$\int \operatorname {Si} (x)dx=x\,\operatorname {Si} (x)+\cos x$

$\int \operatorname {Ei} (x)dx=x\,\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$

$\int \operatorname {li} (x)dx=x\,\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$

$\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$

$\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\,{\text{erf}}(x)$

Визначені інтеграли без явних первісних

Для деяких функцій, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені. Тут перелічені деякі популярні інтеграли

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (дивись також Гамма-функція)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Гаусовий інтеграл)

$\int _{0}^{\infty }{xe^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\sqrt {\pi }}{4a^{3}}}$, де $a>0\!$

$\int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {a!}{2a^{2i+2}}}$, де $a>0;\;\;\!i=1,2,3...$

$\int _{0}^{\infty }{x^{2i}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1*3*5*...*(2i-1)}{2^{i+1}a^{2i+1}}}{\sqrt {\pi }}$, де $a>0;\;\;\!i=1,2,3...$

$\int _{0}^{\infty }{x^{n}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{n+1}}}$, де $a>0\!$; (дивись також Гамма-функція)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (дивись також числа Бернуллі)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\ln {2}}{a}}$ де $a>0\!$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{12a^{2}}}$ де $a>0\!$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {7}{120}}{\frac {\pi ^{4}}{a^{4}}}$ де $a>0\!$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (якщо n парне число і $\scriptstyle {n\geq 2}$)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}$ (якщо $\scriptstyle {n}$ непарне число і $\scriptstyle {n\geq 3}$)

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.$ (для цілих $\scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0$ і $\scriptstyle m,n\geq 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$ (для дійсних $\scriptstyle \alpha ,\beta$ і невід'ємного цілого $\scriptstyle n$, дивись також Симетрія)

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{(n+1)/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.$ (для цілих $\scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0$ і $\scriptstyle m,n\geq 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{n/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.$ (для цілих $\scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0\!$ та $\scriptstyle m,n\geq 0\!$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (де $\Gamma (z)\!$ Гамма-функція)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (де $\exp[u]\!$ експонента $e^{u}$, і $a>0\!$)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (де $I_{0}(x)\!$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$

$\int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2))}}\,$, $\nu >0\,$,  стосується функція густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$

$\int _{0}^{1}[\ln(1/x)]^{p}\,dx=p!$

Випадково знайдені тотожності

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128599706266\dots )\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}n^{-n}&&(=0.783430510712\dots )\end{aligned}}$

Обчислені Йоганном Бернуллі.

Див. також

• Методи інтегрування
• Таблиця похідних

Джерела

• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
• Основні формули інтегрування // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 369. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)