Інтегрування частинами

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція представима у виді добутку двох неперервних і повних функцій (кожна з який може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули

• для невизначеного інтеграла:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

• для визначеного:

$\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du$

Передбачається, що знаходження інтеграла $\int v\, du$ простіше, ніж $\int u\, dv\,$. У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

Для невизначеного інтеграла

Функції $\textstyle\mathit{u}$ и $\textstyle\mathit{v}$ повні, отже, можливе диференціювання:

$d(u\,v)=du\,v+u\,dv$

Ці функції також неперервні, значить можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

$\int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv$

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

$u\,v=\int du\,v+\int u\,dv$

Після перестановок:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

Для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

$d(u\,v)=du\,v+u\,dv$

$\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b du\,v+\int\limits_a^b u\,dv$

$\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du$

Приклади

• $\int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C$
• $\int e^x\,x\,dx=\int x\,(e^x\,dx)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C$

• Іноді цей метод застосовується кілька разів:

$\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=$

$=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

• Даний метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$

• У деяких випадках інтегрування вроздріб не дає прямої відповіді:

$I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2$

$I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1$

У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:

$\begin{cases} I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\ I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1 \end{cases}$

Вирішивши отриману систему, одержуємо:

$I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C$

$I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C$

Див. також

• Методи інтегрування