Інтегрування частинами

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція представлена у виді добутку двох неперервних і повних функцій (кожна з який може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

  • для невизначеного інтеграла:
\int u\,dv=u\,v-\int v\,du
  • для визначеного:
\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Передбачається, що знаходження інтеграла \int v\, du простіше, ніж \int u\, dv\,. У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул[ред.ред. код]

Для невизначеного інтеграла[ред.ред. код]

Функції \textstyle\mathit{u} и \textstyle\mathit{v} повні, отже, можливе диференціювання:

d(u\,v)=du\,v+u\,dv

Ці функції також неперервні, значить можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

\int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

u\,v=\int du\,v+\int u\,dv

Після перестановок:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

Для визначеного[ред.ред. код]

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

d(u\,v)=du\,v+u\,dv
\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b du\,v+\int\limits_a^b u\,dv
\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Приклади[ред.ред. код]

  • \int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C
  • \int e^x\,x\,dx=\int x\,(e^x\,dx)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C
  • Іноді цей метод застосовується кілька разів:
\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=
=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
  • Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C
  • У деяких випадках інтегрування вроздріб не дає прямої відповіді:
I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2
I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
\begin{cases}
     I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\
     I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
\end{cases}
Вирішивши отриману систему, одержуємо:
I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C
I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C

Див. також[ред.ред. код]