Інтегрування частинами

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

• для невизначеного інтеграла:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

• для визначеного:

$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$

Передбачається, що знаходження інтеграла $\int v\,du$ простіше, ніж $\int u\,dv\,$. У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

Для невизначеного інтеграла

Функції $\textstyle {\mathit {u}}$ і $\textstyle {\mathit {v}}$ гладкі, отже, можливе диференціювання:

$d(u\,v)=du\,v+u\,dv$

Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

$\int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv$

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

$u\,v=\int du\,v+\int u\,dv$

Після перестановок:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

Для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

$d(u\,v)=du\,v+u\,dv$

$\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv$

$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$

Приклади

• $\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$
• $\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$

• Іноді цей метод застосовується кілька разів:

$\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=$

$=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

• Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

• У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:

$I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}$

$I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}$

У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:

${\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}$

Вирішивши отриману систему, одержуємо:

$I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C$

$I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C$

Див. також

• Методи інтегрування

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 418. — 594 с.