Інтервал (математика)

Інтерва́л (рос. интервал, англ. interval, нім. Zwischenraum m, Abstand m; Bereich m, Zone f, Intervall n) — в математиці, концепція відносно належності або майже-належності чисел до послідовності. Сукупність усіх чисел (або точок), що містяться між двома даними числами а та b (або точками), яка не включає їх.

Алгебра

В елементарній алгебрі, інтервал є множиною, яка місить всі дійсні числа між двома вказаними числами, але не містить самі числа. Зазвичай, інтервали записуються як пара чисел відокремлених комою і оточених круглими '(' та ')' дужками. Круглі дужки '(' та ')' вказують на те, що до інтервалу належать всі числа між нижньою та верхньою границями, окрім самих границь. На відміну від інтервала проміжок записують у квадратних дужках, чим показують, що кінці включаються.

Вища математика

У вищій математиці, інтервал визначається формально: інтервал це така підмножина S повністю впорядкованої множини T, що для будь яких x та y, які належать до S, виконується x < z < y тоді z належить S.

Як було вказано вище, особливо важливий випадок, це коли $T=\mathbb{R}$, множина дійсних чисел.

У випадку множини дійсних чисел $\mathbb{R}$, розрізняють одиннадцять різних загальних типів проміжків (тут a та b — дійсні числа, та a < b):

1. $(a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}$,
2. $[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}$,
3. $[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}$,
4. $(a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}$,
5. $(a,\infty)=\{x\,|\,x>a\}$,
6. $[a,\infty)=\{x\,|\,x\geq a\}$,
7. $(-\infty,b)=\{x\,|\,x<b\}$,
8. $(-\infty,b]=\{x\,|\,x\leq b\}$,
9. $(-\infty,\infty)=\mathbb{R}$ це просто вся множина дійсних чисел,
10. $\{a\}$,
11. $\varnothing$ — порожня множина

У всіх вказаних випадках, a та b позначають границі інтервалу. Якщо взяти до уваги розширену множину дійсних чисел (en:extended reals), тоді з'являється ще п'ять нових випадків:

1. $[-\infty,b]=\{x\,|\,x \leq b\}\bigcup \{ -\infty\}$
2. $[-\infty,b)=\{x\,|\,x < b\}\bigcup \{ -\infty\}$
3. $[a,\infty]=\{x\,|\,x \geq a\}\bigcup \{\infty\}$
4. $(a,\infty]=\{x\,|\,x > a\}\bigcup \{\infty\}$
5. $[-\infty,\infty]=\mathbb{R}^+$

Інтервали, які не містять обидві свої границі (позначаються круглими дужками: (a, b) ) називаються відкритими. Інтервали, які включають обидві свої границі (позначаються квадратними дужками: [a, b] ) називаються закритими. Інтервали, які містять лише одну із своїх границь, називаються напівзакритими або напіввідкритими (наприклад, [a, b), або (−1, 10]).

Інтервали грають важливу роль в теорії інтегралів, оскільки вони є найпростішими множинами, «розмір», «міру» або «довжину» яких легко визначити. Концепцію міри можливо, згодом, поширювати для складніших множин, отримуючи міру Бореля та міру Лебега.

Див. також

• Довірчий інтервал
• Напівінтервал