Інтерференція хвиль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами

Інтерфере́нція хвиль (від лат. inter — взаємно, між собою; лат. ferio — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більше когерентних світлових хвиль в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення результуючої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

Загальний опис[ред.ред. код]

Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали — червоним/жовтим.

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та повздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результуюче коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результуюча амплітуда А вираховується за формулою:

A=\sqrt{A_1^2\;+\;A_2^2\;+\;2\,A_1\,A_2\,\cos\, \alpha},

де A_1 та A_2 — амплітуди відповідних хвиль, \alpha — різниця фаз цих хвиль.

Використання[ред.ред. код]

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євського[ред.ред. код]

Модель одновимірної хвилі[ред.ред. код]

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна подати у наступному вигляді:

y(x,t)=A\cdot \sin{\frac{2\pi}{T_x}(t-\frac{x}{v_x}}) ,

де t  — змінна часу, A  — амплітуда коливання, T_x  — період коливань, v_x  — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

\omega_x=\frac{2\pi}{T_x}=\frac{2\pi v_x}{\lambda_x} ,

де \lambda_x -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

k_x=\frac{2\pi}{\lambda_x}=\frac{\omega_x}{v_x} .

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin (\omega_x t-k_x x) ,

де \phi (x,t)=\omega_x t-k_x x  — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвилі[ред.ред. код]

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою \omega , ширина якої рівна нулю

\Delta (\omega)=0 .

В рамках моделі інтерференції Захар'євського[1] розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

y_1=A_1 \sin \phi_1=A_1 \sin (\omega_x-k_x x_1)
y_2=A_2 \sin \phi_1=A_2 \sin (\omega_x-k_x x_2)

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

y=y_1+y_2=A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2=(A_1+A_2 \cos \psi)\sin \phi_1-A_2 \sin \psi \cos \phi_1 ,

де різниця фаз двох коливань буде:

\psi=\phi_1-\phi_2=k_x(x_2-x_1)=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x} ,

де \Delta_x=x_2-x_1  — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

A_1+A_2 \cos \psi=A \cos \theta
A_2 \sin \psi=A \sin \theta .

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos \psi .

Кути \theta та \psi пов'язані між собою наступним чином:

tg \theta=\frac{A_2 \sin \psi}{A_1+A_2 \cos \psi} /

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

y(x_1,t)=A \cos \theta \sin \phi_1-A sin \theta \cos \phi_1=A \sin (\phi_1-\theta)= A \sin (\omega t-k_x x_1-\theta)

Оскільки енергія коливань залежить від квадрату амплітуди, тому для нас важливо вияснити можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо наступні значення:

\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi,...,\pm N_x 2\pi
\Delta_x=0, \pm\lambda_x, \pm 2\lambda_x,...,\pm N_x\lambda_x

де N_x  — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

(A^2)_{max}=(A_1+A_2)^2 .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплятуди

(A^2)_{min}=(A_1-A_2)^2

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm \pi,\pm 3\pi,...,\pm (2N_x+1)\pi
\Delta_x=0, \pm\lambda_x/2, \pm 2\lambda_x/2,...,\pm (N_x+1)\lambda_x/2 .

Часто буває, що амплітуди коливань є одинакові A_1=A_2 . Тоді сумарна амплітуда буде:

A^2=2A_1^2(1+\cos \theta)=4A_1^2 \cos^2 \theta/2=4A_1^2 \cos^2(\frac{\pi \Delta_x}{\lambda_x})

її максимальне значення (A^2)_{max}=4A_1^2 , а мінімальне — (A^2)_{min}=0 . Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель[ред.ред. код]

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включаєв себе два дзеркала Френеля[2], розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом \sigma . Якщо n_x -а смуга знаходиться від центру поля на відстані y_1 , то для неї різниця ходу рівна

\Delta_{x1}=n_x\lambda_x=\frac{a y_1}{L} ,

де a - відстань між двома когерентними джерелами світла, а L - база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої n_x+1 -ї смугк, яка знаходиться від центру поля на відстані y_2 , маємо

\Delta_{x2}=(n_x+1)\lambda_x=\frac{a y_2}{L} .

Очевидно, що різниця y_2-y_1 рівна ширині смуги, звідки знаходимо

\sigma_x=y_2-y_1=\frac{L\lambda_x}{a} .

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії (\Delta \omega=0 ), залежить від довжини хвилі падаючих хвиль.

Модель двох близьких частот[ред.ред. код]

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

\Delta \omega=\omega_2-\omega_1 \ll \omega_1 \ne \omega_2 .

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

z_1(x,t)=A_1 \sin (\omega_1 t+\phi_1)
z_2(x,t)=A_2 \sin (\omega_2 t+\phi_2) .

У випадку рівності амплітуд A_1 = A_2 та фаз \phi_1 = \phi_2 сумарне значення двох хвиль буде:

z_{tot}=z_1+z_2=A(\sin \omega_1 t + \sin \omega_2 t)=2A \cos (\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\cdot \sin (\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t)

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

\omega=\omega_{av}=(\omega_1+\omega_2)/2 ,

а різницю частот

\Omega=\omega_{mod}=(\omega_1-\omega_2)/2

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

A_{mod}(t)=2A \cos \Omega t .

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

z_{tot}(t)=A_{mod} \sin \omega t .

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру[ред.ред. код]

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

z(x,y,t)=2A \cos [\Omega (t+y/v)]\cdot \sin [\omega (t-x/v)] .

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі x , а модуляційні — вздовж осі y . Кутові частоти тут будуть

\omega_x=\frac{2\pi v}{\lambda_x}
\Omega_y=\frac{2\pi v}{\Lambda_y} .

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

k_x=\frac{\omega_x}{v}=\frac{2\pi}{\lambda_x}
k_y=\frac{\Omega_y}{v}=\frac{2\pi}{\Lambda_y} .

Оскільки \omega_x \gg \Omega_y , тому

\Lambda_y=\frac{2\pi v}{\Omega_y} \gg \lambda_x=\frac{2\pi v}{\omega_x} .

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в (x,y ) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

K_M=\frac{\omega_x}{\Omega_y}=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x} \gg 1 .

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

K_{2D}=K_M \gg 1 .

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

z_1(t)=2A cos [\Omega_y(t+y_1/v)]\cdot sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z1} cos \phi_{z1}=A_{z1} cos (\Omega t-k_y y_1)
z_2(t)=2A cos [\Omega_y(t+y_2/v)]\cdot sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z2} cos \phi_{z1}=A_{z2} cos (\Omega t-k_y y_2)  .

де

A_z=A_{z1}=A_{z2}=2A sin (\omega t-k_x x)
\psi_z=\phi_{z1}-\phi_{z2}=k_y(y_2-y_1)=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}

а \Delta_y=y_2-y_1 - різниця ходу вздовж осі y . Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

z_{tot}=z_1+z_2=A_{z1} cos \phi_1 + A_{z2} cos (\phi_{z1}-\psi_z)=(A_{z1}+A_{z2}) cos \phi_1 + A_{z2} sin \psi sin \phi_1

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

A_{z1}+A_{z2} cos \psi=A_{zz} cos \theta_z
A_{z2} sin \psi_z=A_{zz} sin \theta_z

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

z_{tot}=A_{zz} cos \theta_z cos \phi_{z1}+A_{zz} sin \theta_z sin \phi_{z1}=A_{zz} cos (\phi_{z1}-\theta_z)=A_{zz} cos (\Omega t-k_y y_1-\theta_z)

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

A_{zz}^2=2A_z^2(1+cos \psi_z)
tg \theta_z=\frac{sin \psi_z}{1+ cos \psi_z}

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi,...,\pm N_y 2\pi
\Delta_y=0, \pm\Lambda_y, \pm 2\Lambda_y,...,\pm N_y\Lambda_y

де N_y - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

(A_{zz}^2)_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^2 .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплітуди

(A_{zz}^2)_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^2 ,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm \pi,\pm 3\pi,...,\pm (2N_y+1)\pi
\Delta_y=0, \pm\Lambda_y/2, \pm 2\Lambda_y/2,...,\pm (N_x+1)\Lambda_y/2 .

Геометрична модель модуляційної інтерференції[ред.ред. код]

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношеннядля модульованої різниці ходу:

\Delta_y=\frac{a y}{L}=N_y \Lambda_y=N_x \lambda_x ,

а також співвідношення між ширинами полос:

N_x \sigma_x=N_y \Sigma_y .

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі x з частотою \omega_x та модуляційних коливань вздовж осі y з частотою \Omega_y . Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини полоси) маємо:

K_M=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{\Sigma_y}{\sigma_x} \gg 1 .

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини полос \Sigma_y (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» полос \sigma_x , а це означає що N_x \gg N_y .

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою \omega_x має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот \omega_{x1} \ne \omega_{x2} різниця порядків інтерференції N_{x1} та N_{x2} повинна бути малим числом:

N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_y=0,1,2,...

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

\Delta_x=N_{x1}\lambda_{x1}=(N_{x1}-n_y)\lambda_{x2}

або

N_{x1}=\frac{n_y\lambda_{x1}}{\lambda_{x2}-\lambda_{x1}}=n_y n_{x12} .

Цей вираз також може переписати у формі:

N_{x1}=n_y\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y}=n_y K_{MI} ,

де K_{MI}=\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y} \gg 1 , а \Omega_y=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}=\frac{\pi v (\lambda_2-\lambda_1)}{\lambda_1\lambda_2} . Якщо в якості джерела світла взяти водневу лампу, для якої \lambda_2=656.2 нм та \lambda_1=486.1 нм, тоді

n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=3.9 ,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де \lambda_2=589.2нм та \lambda_1=589нм, ми будемо мати велике число:

n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=983 .

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль K_{MI}=0.5n_{x12}= 500 . Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим K_{MI}=0.5n_{x12}= 2 . Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину полоси:

\Sigma_y=\sigma \frac{\Lambda_y}{\lambda_x}= \sigma_x N_x

при \Lambda_y=N_x \lambda_x . Тому "зміщення ширини полоси" має вигляд:

\Delta(\Sigma_y)=\Sigma_{y1}-\Sigma_{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma_x=n_y\sigma_x .

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини полоси буде:

[\Delta (\Sigma_y)]_{min}=\sigma_x

при n_y=1 . Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

\delta_y=\frac{[\Delta (\Sigma_y)]_{min}}{\Sigma_y}=\frac{\sigma_x}{N_x\sigma_x}=\frac{1}{N_{x1}}

де N_{x1}=n_y\frac{\lambda_{x2}}{\lambda_2-\lambda_1} \gg 1 .


Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Захарьевский А. Н. Интерферометры. — М.: Гос. изд. оборонной промышленности, 1952. — 296 с.
  2. Fresnel, Augustin «On the Action of Rays of Polarized Light upon Each Other», The Wave Theory of Light – Memoirs by Huygens, Young and Fresnel. — С. 79–156. — American Book Company, 1819.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.