Інтерференція хвиль

Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами

Інтерфере́нція хвиль (від лат. inter — взаємно, між собою; лат. ferio — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більше когерентних світлових хвиль в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення результуючої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

Загальний опис

Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали — червоним/жовтим.

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та повздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результуюче коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результуюча амплітуда А вираховується за формулою:

$A=\sqrt{A_1^2\;+\;A_2^2\;+\;2\,A_1\,A_2\,\cos\, \alpha}$,

де $A_1$ та $A_2$ — амплітуди відповідних хвиль, $\alpha$ — різниця фаз цих хвиль.

Використання

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євського

Модель одновимірної хвилі

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна подати у наступному вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin{\frac{2\pi}{T_x}(t-\frac{x}{v_x}})$,

де $t$ — змінна часу, $A$ — амплітуда коливання, $T_x$ — період коливань, $v_x$ — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

$\omega_x=\frac{2\pi}{T_x}=\frac{2\pi v_x}{\lambda_x}$,

де $\lambda_x$ -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

$k_x=\frac{2\pi}{\lambda_x}=\frac{\omega_x}{v_x}$.

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin (\omega_x t-k_x x)$,

де $\phi (x,t)=\omega_x t-k_x x$ — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвилі

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою $\omega$, ширина якої рівна нулю

$\Delta (\omega)=0$.

В рамках моделі інтерференції Захар'євського розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

$y_1=A_1 \sin \phi_1=A_1 \sin (\omega_x-k_x x_1)$

$y_2=A_2 \sin \phi_1=A_2 \sin (\omega_x-k_x x_2)$

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

$y=y_1+y_2=A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2=(A_1+A_2 \cos \psi)\sin \phi_1-A_2 \sin \psi \cos \phi_1$,

де різниця фаз двох коливань буде:

$\psi=\phi_1-\phi_2=k_x(x_2-x_1)=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}$,

де $\Delta_x=x_2-x_1$ — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

$A_1+A_2 \cos \psi=A \cos \theta$

$A_2 \sin \psi=A \sin \theta$.

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos \psi$.

Кути $\theta$ та $\psi$ пов'язані між собою наступним чином:

$tg \theta=\frac{A_2 \sin \psi}{A_1+A_2 \cos \psi}$/

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

$y(x_1,t)=A \cos \theta \sin \phi_1-A sin \theta \cos \phi_1=A \sin (\phi_1-\theta)= A \sin (\omega t-k_x x_1-\theta)$

Оскільки енергія коливань залежить від квадрату амплітуди, тому для нас важливо вияснити можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо наступні значення:

$\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi,...,\pm N_x 2\pi$

$\Delta_x=0, \pm\lambda_x, \pm 2\lambda_x,...,\pm N_x\lambda_x$

де $N_x$ — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

$(A^2)_{max}=(A_1+A_2)^2$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплятуди

$(A^2)_{min}=(A_1-A_2)^2$

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm \pi,\pm 3\pi,...,\pm (2N_x+1)\pi$

$\Delta_x=0, \pm\lambda_x/2, \pm 2\lambda_x/2,...,\pm (N_x+1)\lambda_x/2$.

Часто буває, що амплітуди коливань є одинакові $A_1=A_2$. Тоді сумарна амплітуда буде:

$A^2=2A_1^2(1+\cos \theta)=4A_1^2 \cos^2 \theta/2=4A_1^2 \cos^2(\frac{\pi \Delta_x}{\lambda_x})$

її максимальне значення $(A^2)_{max}=4A_1^2$, а мінімальне — $(A^2)_{min}=0$. Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань приймає участь в створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включаєв себе два дзеркала Френеля, розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом $\sigma$. Якщо $n_x$-а смуга знаходиться від центру поля на відстані $y_1$, то для неї різниця ходу рівна

$\Delta_{x1}=n_x\lambda_x=\frac{a y_1}{L}$,

де $a$- відстань між двома когерентними джерелами світла, а $L$- база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої $n_x+1$ -ї смугк, яка знаходиться від центру поля на відстані $y_2$, маємо

$\Delta_{x2}=(n_x+1)\lambda_x=\frac{a y_2}{L}$.

Очевидно, що різниця $y_2-y_1$ рівна ширині смуги, звідки знаходимо

$\sigma_x=y_2-y_1=\frac{L\lambda_x}{a}$.

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії ($\Delta \omega=0$), залежить від довжини хвилі падаючих хвиль.

Модель двох близьких частот

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

$\Delta \omega=\omega_2-\omega_1 \ll \omega_1 \ne \omega_2$.

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

$z_1(x,t)=A_1 \sin (\omega_1 t+\phi_1)$

$z_2(x,t)=A_2 \sin (\omega_2 t+\phi_2)$.

У випадку рівності амплітуд $A_1 = A_2$ та фаз $\phi_1 = \phi_2$ сумарне значення двох хвиль буде:

$z_{tot}=z_1+z_2=A(\sin \omega_1 t + \sin \omega_2 t)=2A \cos (\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\cdot \sin (\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t)$

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

$\omega=\omega_{av}=(\omega_1+\omega_2)/2$,

а різницю частот

$\Omega=\omega_{mod}=(\omega_1-\omega_2)/2$

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

$A_{mod}(t)=2A \cos \Omega t$.

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

$z_{tot}(t)=A_{mod} \sin \omega t$.

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

$z(x,y,t)=2A \cos [\Omega (t+y/v)]\cdot \sin [\omega (t-x/v)]$.

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі $x$, а модуляційні — вздовж осі $y$. Кутові частоти тут будуть

$\omega_x=\frac{2\pi v}{\lambda_x}$

$\Omega_y=\frac{2\pi v}{\Lambda_y}$.

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

$k_x=\frac{\omega_x}{v}=\frac{2\pi}{\lambda_x}$

$k_y=\frac{\Omega_y}{v}=\frac{2\pi}{\Lambda_y}$.

Оскільки $\omega_x \gg \Omega_y$, тому

$\Lambda_y=\frac{2\pi v}{\Omega_y} \gg \lambda_x=\frac{2\pi v}{\omega_x}$.

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в ($x,y$) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

$K_M=\frac{\omega_x}{\Omega_y}=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x} \gg 1$.

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

$K_{2D}=K_M \gg 1$.

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

$z_1(t)=2A cos [\Omega_y(t+y_1/v)]\cdot sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z1} cos \phi_{z1}=A_{z1} cos (\Omega t-k_y y_1)$

$z_2(t)=2A cos [\Omega_y(t+y_2/v)]\cdot sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z2} cos \phi_{z1}=A_{z2} cos (\Omega t-k_y y_2)$.

де

$A_z=A_{z1}=A_{z2}=2A sin (\omega t-k_x x)$

$\psi_z=\phi_{z1}-\phi_{z2}=k_y(y_2-y_1)=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}$

а $\Delta_y=y_2-y_1$ - різниця ходу вздовж осі $y$. Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

$z_{tot}=z_1+z_2=A_{z1} cos \phi_1 + A_{z2} cos (\phi_{z1}-\psi_z)=(A_{z1}+A_{z2}) cos \phi_1 + A_{z2} sin \psi sin \phi_1$

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

$A_{z1}+A_{z2} cos \psi=A_{zz} cos \theta_z$

$A_{z2} sin \psi_z=A_{zz} sin \theta_z$

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

$z_{tot}=A_{zz} cos \theta_z cos \phi_{z1}+A_{zz} sin \theta_z sin \phi_{z1}=A_{zz} cos (\phi_{z1}-\theta_z)=A_{zz} cos (\Omega t-k_y y_1-\theta_z)$

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

$A_{zz}^2=2A_z^2(1+cos \psi_z)$

$tg \theta_z=\frac{sin \psi_z}{1+ cos \psi_z}$

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi,...,\pm N_y 2\pi$

$\Delta_y=0, \pm\Lambda_y, \pm 2\Lambda_y,...,\pm N_y\Lambda_y$

де $N_y$ - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

$(A_{zz}^2)_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^2$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплітуди

$(A_{zz}^2)_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^2$,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm \pi,\pm 3\pi,...,\pm (2N_y+1)\pi$

$\Delta_y=0, \pm\Lambda_y/2, \pm 2\Lambda_y/2,...,\pm (N_x+1)\Lambda_y/2$.

Геометрична модель модуляційної інтерференції

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношеннядля модульованої різниці ходу:

$\Delta_y=\frac{a y}{L}=N_y \Lambda_y=N_x \lambda_x$,

а також співвідношення між ширинами полос:

$N_x \sigma_x=N_y \Sigma_y$.

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі $x$ з частотою $\omega_x$ та модуляційних коливань вздовж осі $y$ з частотою $\Omega_y$. Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини полоси) маємо:

$K_M=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{\Sigma_y}{\sigma_x} \gg 1$.

Оскільки ми можемо спостерігати "підсилені" ширини полос $\Sigma_y$ (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато "непідсилених" полос $\sigma_x$, а це означає що $N_x \gg N_y$.

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою $\omega_x$ має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот $\omega_{x1} \ne \omega_{x2}$ різниця порядків інтерференції $N_{x1}$ та $N_{x2}$ повинна бути малим числом:

$N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_y=0,1,2,...$

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

$\Delta_x=N_{x1}\lambda_{x1}=(N_{x1}-n_y)\lambda_{x2}$

або

$N_{x1}=\frac{n_y\lambda_{x1}}{\lambda_{x2}-\lambda_{x1}}=n_y n_{x12}$.

Цей вираз також може переписати у формі:

$N_{x1}=n_y\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y}=n_y K_{MI}$,

де $K_{MI}=\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y} \gg 1$, а $\Omega_y=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}=\frac{\pi v (\lambda_2-\lambda_1)}{\lambda_1\lambda_2}$. Якщо в якості джерела світла взяти водневу лампу, для якої $\lambda_2=656.2$нм та $\lambda_1=486.1$нм, тоді

$n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=3.9$,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де $\lambda_2=589.2$нм та $\lambda_1=589$нм, ми будемо мати велике число:

$n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=983$.

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль $K_{MI}=0.5n_{x12}= 500$. Проте у випадку "білого світла", або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим $K_{MI}=0.5n_{x12}= 2$. Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину полоси:

$\Sigma_y=\sigma \frac{\Lambda_y}{\lambda_x}= \sigma_x N_x$

при $\Lambda_y=N_x \lambda_x$. Тому "зміщення ширини полоси" має вигляд:

$\Delta(\Sigma_y)=\Sigma_{y1}-\Sigma_{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma_x=n_y\sigma_x$.

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини полоси буде:

$[\Delta (\Sigma_y)]_{min}=\sigma_x$

при $n_y=1$. Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

$\delta_y=\frac{[\Delta (\Sigma_y)]_{min}}{\Sigma_y}=\frac{\sigma_x}{N_x\sigma_x}=\frac{1}{N_{x1}}$

де $N_{x1}=n_y\frac{\lambda_{x2}}{\lambda_2-\lambda_1} \gg 1$.

Див. також

• Інтерферометр
• Муар
• Стояча хвиля
• Биття

Література

• Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: Донбас, 2004. — ISBN 966-7804-14-3.
• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.
• Ландсберг Г. С. Оптика. — М.: Физматлит, 2010. — 848 с.
• Сивухин Д. В. Оптика // Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2006. — Т. 4. — 792 с.

Посилання

• Java demonstration of interference (англ.)
• Flash animations demonstrating interference (англ.)

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.