Інтеграл

Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, тощо.

Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана — найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної $f(x)$, визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки $[x_i, x_{i+1}]$ інтегральна сума визнається як

$S_R = \sum_i f(\xi_i)(x_{i+1} - x_{i}),$

де $x_i \le \xi_i \le x_{i+1}$ — будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку $[x_i, x_{i+1}]$ до нуля, то функція $f(x)$ називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку $[a,b]$ і позначається

$I = \int_a^b f(x)dx$.

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Головна теорема інтегрального числення

Якщо у функції $f(x)$ існує первісна $F(x)$, то

$I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Дивись також

• Інтегрування
• Первісна
• Методи інтегрування
• Таблиця інтегралів
• Чисельне інтегрування

Посилання

• Динамічні моделі FIZMA.neT