Абсолютна збіжність

Абсолютна збіжність числових рядів

Визначення

Ряд $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ називають абсолютно збіжним числовим рядом, якщо збіжним є ряд $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$.

Властивості

• із збіжності ряду $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ випливає збіжність ряду $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$.
• При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
• Якщо ряд $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки: ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Хай $\ f(x)$ визначена і інтегрована на $[a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a)$, необмежена в лівому околі точки $b$. Невласний інтеграл другого роду $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Див. також

• Умовна збіжність
• Безумовна збіжність

Література

• Фихтенгольц Г.М. (1964). Курс дифференциального и интегрального исчисления. том II. Москва: Наука. с. 800.