Абсолютно неперервна випадкова величина

Означення

Випадкова величина ξ називається абсолютно неперервною, якщо її функція розподілу допускає представлення $F_{\xi}(x)=\int\limits_{X}p_{\xi}(x)dx$, де $p_{\xi}(x)\,$ — невід'ємна інтегровна за Лебегом функція. Функція $p_{\xi}(x)\,$ називається функцією густини імовірності випадкової величини ξ.

Способи задання

Нехай ξ — абсолютно неперервна випадкова величина, тоді є два способа її задання:

• за допомогою функції густини імовірності $p_{\xi}(x)\,$;
• за допомогою функції розподілу ймовірностей $F_{\xi}(x)\,$.

Приклад задачі, що призводить до даного поняття

Розглянемо стохастичний експеримент, який полягає в тому, що ми обираємо випадковим чином число з інтервалу [0, 1]. Сенс фрази «випадковим чином» полягає у рівноймовірності обрання нами чисел з довільних двох однакових неперерізних інтервалів, які є підмножинами [0, 1] (наприклад, ймовірність того, що наш вибір буде числом, меншим ніж 0,5 дорівнює 0,5 і т. д.). Розглянемо відповідну випадкову величину ξ, реалізація якої є результатом цього стохастичного експерименту. Тоді ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення менше нуля дорівнює 0, а ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення, що перевищує одиницю дорівнює 1. А на інтервалі [0, 1] функція розподілу, очевидно, зростатиме лінійно. Отже, отримаємо такі результати:

• функція розподілу $F_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ x, & x\in[0,1) \\ 1, & x\geq 1\end{cases}$
• функція щільності $p_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 1, & x\in[0,1) \\ 0, & x\geq 1\end{cases}$

Приклади розподілів абсолютно неперервних випадкових величин

• Бета розподіл
• Рівномірний розподіл (неперервний)
• Хі-розподіл
• Нецентрований хі-розподіл
• Розподіл хі-квадрат
• Експоненційний розподіл
• T-розподіл Стьюдента
• Гамма-розподіл
• Розподіл Коші
• Розподіл Фішера
• Розподіл Ландау
• Розподіл Лапласа
• Нормальний розподіл

Див. також

• Розподіл ймовірностей
• Дискретна випадкова величина