Авторегресивна умовна гетероскедастичність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В економетриці, Авторегресивні умовно гетероскедастичні (АРУГ) (англ. Autoregressive conditional heteroskedasticity, ARCH) моделі використовуються для опису і моделювання часових рядів. Такі моделі використовуються у випадках коли є підстави вважати, що в на кожному відрізку часу, дисперсія часового ряду залежить від різних параметрів і не є сталою.

АРУГ(q) (ARCH(q)) модель[ред.ред. код]

Нехай потрібно змоделювати часовий ряд використовуючи АРУГ процес. Позначимо  ~\epsilon_t~ похибки (залишки доходів відносно седнього процесу). Ці  ~\epsilon_t~ розкладаються на стохастичний член, z_t, та стандартне відхилення, залежне від часу, \sigma_t. \sigma_t характеризує величину  ~\epsilon_t~ наступним чином

 ~\epsilon_t=\sigma_t z_t ~

тут z_tстандартна нормальна випадкова величина (математичне сподівання = 0, дисперсія = 1), (тобто,  z_t\overset{\textrm{iid}}{\thicksim} N(0,1)) і ряд  \sigma_t^2 моделюється як

 \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \epsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \epsilon_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} \epsilon_{t-i}^2

де  ~\alpha_0>0~ та  \alpha_i\ge 0,~i>0.

Параметри АРУГ(q) моделі можуть бути оцінені методом найменших квадратів. Метод тестування кількості лагів похибок моделі УАРГ з використанням методу множників Лагранжа запропонував Роберт Енґл. Процедура тестування здійснюється виконанням кроків:

  1. Оцінити найкращу підгонку АР(q) модель  y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + \cdots + a_q y_{t-q} + \epsilon_t = a_0 + \sum_{i=1}^q a_i y_{t-i} + \epsilon_t .
  2. Отримати квадрати похибок  \hat \epsilon^2 і зрегресувати їх на константі та q лагах (запізненнях):
     \hat \epsilon_t^2 = \hat \alpha_0 + \sum_{i=1}^{q} \hat \alpha_i \hat \epsilon_{t-i}^2
    тут q кількість запізнень УАРГ процесу.
  3. Нульова гіпотеза полягає в тому, що якщо ми не маємо АРУГ компонентів, тоді має виконуватися  \alpha_i = 0\ \forall\  i = 1, \cdots, q . Альтернативна гіпотеза про присутність УАРГ компонентів перевіряється тим, що принаймні один оцінений параметр  \alpha_i суттєво відрізняється від нуля. Для вибірки з T похибок за умови вірності нульової гіпотези (похибки не є АРУГ процесом) тестова статистика TR² має  \chi^2 розподіл з q ступенями свободи. Якщо TR² більше ніж відповдний квантиль хі-квадрат розподілу ми відкидаємо нульову гіпотезу і робимо висновок, що присутній УАРГ ефект у АРРС моделі. Якщо TR² — менше ніж квантиль хі-квадрат розподілу ми не відкидаємо нульову гіпотезу.

Джерела[ред.ред. код]