Аксіома нескінченності

Аксіомою нескінченності (Axiom of infinity) називається наступне висловлювання теорії множин:

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ )$, де $~ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}$

Аксіома нескінченності проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з $~ \varnothing, \qquad \{\varnothing\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}, \ \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}\}, \quad ...$

Тобто, існує така множина a, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента b включає також і множину, сформовану як об'єднання b та її синґлетону {b}.

Інші формулювання аксіоми нескінченності

$~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))$

$~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))$

Примітки

0. Індуктивні висловлювання

Приклади

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a))$, де $~ \{b\}$ — множина, єдиним елементом якої є $~ b$.

$~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a))$, де $~ \mathcal{P}(b)$ — булеан множини $~ b$

1. Про вивідність аксіоми нескінченності з інших висловлювань

2. Про єдиність "нескінченної множини"

3. Інше

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

• Математична індукція