Аксіома нескінченності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіомою нескінченності (Axiom of infinity) називається наступне висловлювання теорії множин:

~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ ), де ~ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}

Аксіома нескінченності проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з ~ \varnothing, \qquad \{\varnothing\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}, \ \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}\}, \quad ...

Тобто, існує така множина a, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента b включає також і множину, сформовану як об'єднання b та її синґлетону {b}.

Інші формулювання аксіоми нескінченності[ред.ред. код]

~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))

~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))

Примітки[ред.ред. код]

0. Індуктивні висловлювання

Приклади

~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a)), де ~ \{b\} — множина, єдиним елементом якої є ~ b.

~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a)), де ~ \mathcal{P}(b) — булеан множини ~ b

1. Про вивідність аксіоми нескінченності з інших висловлювань

2. Про єдиність "нескінченної множини"

3. Інше

Див. також[ред.ред. код]


Література[ред.ред. код]