Аксіома об’єднання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіомою об’єднання називають наступне висловлення теорії множин:

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )

Аксіому об’єднання можна сформулювати наступним чином: "З будь-якого сімейства ~ a множин ~ b можна утворити як мінімум одну таку множину ~ d, кожен елемент ~ c якої належить хоча б одній множині ~ b даного сімейства ~ a."

Інші формулювання аксіоми об’єднання[ред.ред. код]

~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)\})

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \notin d \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \notin b))

Примітки[ред.ред. код]

0. В аксіомі об’єднання вказаний тип множин (елементи множин сімейства ~ a), які повинні бути елементами множини ~ d, що утворюється. Разом з тим, аксіома об’єднання не містить алгоритм знаходження всіх елементів множини ~ d, що утворюється.

"Хто винуватий?" - відомо. "Що робити?" - невідомо.

1. Про виведення аксіоми об’єднання.

2. Керуючись аксіомою об’ємності можна довести єдиність сукупності ~ d для кожного сімейства множин ~ a. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома об’єднання рівносильна наступному висловлюванню

~ \forall a \exists ! d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)), що рівносильно ~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \quad \land \quad \neg(\exist d' \ (d' \ne d \ \land \ d' = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\})) \ )

3. Про аналогію з законом зростання ентропії.

4. Інше

~ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \{a_1,a_2\} \ \land \ c \in b)) \Leftrightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \ \lor \ c \in a_2)


Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Математична логіка Це незавершена стаття з теорії множин.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.