Аксіома об'ємності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіомою об'ємності називається наступне висловлювання теорії множин:

\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)

Якщо переписати аксіому об'ємності у вигляді

\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \to b \in a_2) \ \land \ \forall b \ (b \in a_2 \to b \in a_1) \to a_1 = a_2),

тоді дану аксіому можна сформулювати так:

"Якими би не були дві множини, якщо кожен елемент першої множини належить другій множині, а кожен елемент другої множини належить першій множині, тоді перша множина є ідентичною другій множині."

Інші формулювання аксіоми об'ємності[ред.ред. код]

\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2)

\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ )

Примітки[ред.ред. код]

Аксіома об'ємності виражає необхідну умову рівності множин. Достатню умову рівності множин можна вивести з аксіом предиката ~ =, а саме:

~ \forall a \ (a = a),
~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])), где ~ \varphi[a_1] — будь-яке математично коректне судження про ~ a_1, а ~ \varphi[a_2] — те ж саме судження, але про ~ a_2.

Об'єднуючи зазначену достатню умову рівності множин з аксіомою об'ємності, отримуємо наступний критерій рівності множин:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )

Зазначений критерій рівності множин не гірший і не кращий інших аналогічних критерій, включаючи:

1) критерій рівності комплексних чисел

~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v)),

2) критерій рівності впорядкованих пар

~ \forall x \forall y \forall u \forall v  \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ ),

3) критерій рівності невпорядкованих пар

~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ ),

4) критерій рівності двох послідовностей

~ \{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i).

З викладеного ясно, що 'аксіома об'ємності' є органічною частиною аксіоматики теорії множин.

Аксіому об'ємності застосовують при доведенні єдиності множини, існування якої вже декларовано аксіомою або установлено доведенням теореми.

Приклади

1. Доведення єдиності порожньої множини

Існування (принаймні однієї) порожньої множини декларовано аксіомою

~ \exist a \forall b \ (b \notin a).

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ~ a, для якої вірне висловлювання:

~ \forall b \ (b \notin a).

Іншими словами, потрібно довести

~ \exist \{0,1\} a \ (\forall b \ (b \notin a))

Або, що теж саме, потрібно довести

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2)

Доведення

\begin{align} 
\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \forall b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 
\end{align}

Оскільки ~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a), то доведення єдиності порожньої множини завершено.

2. Доведення єдиності множини підмножин

Існування (принаймні однієї) множини підмножин декларовано аксіомою

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ~ d, для якої є вірним висловлювання

~ \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Іншими словами, потрібно довести

~ \exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))

Або, що те ж саме, потрібно довести

~ \forall d_1 \forall d_2 \ (\forall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2)

Доведення

\begin{align} 
\forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 
\end{align}

Оскільки ~ \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), то доведення єдиності множини підмножин завершено.


Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • В.І. Андрійчук, М.Я. Комарницький, Ю.Б. Іщук. «Вступ до дискретної математики»