Аксіома пари

Аксіомою [існування невпорядкованої] пари називається наступне висловлення теорії множин :

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)$

Аксіому пари можна сформулювати наступним чином: «Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину $~ c$, кожний елемент якої $~ b$ ідентичний даній множині $~ a_1$ або даній множині $~ a_2$».

Інші формулювання аксіоми пари

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2\} \ )$

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \notin c \ \leftrightarrow \ b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2)$

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (a_1 \in c \ \land \ a_2 \in c \quad \land \quad \forall b \ (b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2 \to b \notin c) \ )$

Примітки

1. Аксіому пари можна вивести зі схеми перетворення

$~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ ))$, якщо припустити $~ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ і вибрати функцію $~ \mathrm{f}$ такою, що $~ c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)$.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність [невпорядкованої] пари. Інакше кажучи, можна довести, що 'аксіома пари' рівносильна висловлюванню

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exists ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2)$, що є $~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall c' \ (\forall b \ (b \in c' \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ \leftrightarrow c = c')$

Останнє висловлювання дозволяє стверджувати наступне: «З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити тільки одну "невпорядковану пару", тобто таку множину $~ c$, кожний элемент $~ b$ якої ідентичний даній множині $~ a_1$ чи даній множині $~ a_2$.»

3. Із аксіоми пари можна вивести теорему про існування одноелементної множини:

$~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a)$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин