Аксіома порожньої множини

Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин

$\exist a \forall b \ (b \notin a)$

Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною, але не є своїм елементом.

Інші формулювання аксіоми порожньої множини

$\neg \ (\forall a \exist b \ (b \in a))$

$\exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \ne b)$, що є $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \ne b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \in b)$, що є $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \in b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow a \in b)$, що є $~ \exist a \ (a = \{b: \ a \in b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \not \subset b)$, що є $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \not \subset b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \subsetneq b)$, що є $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \subsetneq b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b])$, що є $\exist a \ (a = \{b: \ \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b]\})$

$~ \cdots$

Примітки

1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:

• $~ \forall a \forall b \ (b = b \to (b \notin a \to b = b) \ )$,
• $~ \forall b \ (b = b)$,
• $~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)$.

Крім того, аксіому порожньої множини можно вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:

• $~ \exist a \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (c \in a \ \land \ \forall d \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))$

2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:

$~ \exists ! a \forall b \ (b \notin a)$, що є $~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \quad \land \quad \forall a \forall a' \ (\forall b \ (b \notin a') \ \land \ \forall b \ (b \notin a) \to a' = a)$

Єдиність порожньої множини не суперечить «нескінченній множині» описів порожньої множини, включаючи наступні описи:

• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land 0 \cdot b = 1\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{N} \land 1 - 2 = b\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Z} \land 2 \cdot b = 1\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Q} \land b = \sqrt{2}\}$.
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land b^2 = -1\}$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Порожня множина