Аксіоми Пеано

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіоми Пеано — одна із систем аксіом для натуральних чисел.

В 1860-тих роках Герман Грассман показав, що багато тверджень арифметики можуть виводитись через властивості наступного числа та математичну індукцію.

Основуючись на його роботах Ріхард Дедекінд в 1888 запропонував систему аксіом для натуральних чисел, яка в 1889 була уточнена італійським математиком Джузеппе Пеано.

Аксіоми Пеано дозволили формалізувати арифметику.

Хоча, із теореми Геделя про неповноту слідує існування тверджень про натуральні числа, які не можна ні довести ні заперечити виходячи із аксіом Пеано. Деякі з них мають досить просте формулювання (див. теорема Гудштейна).

Формулювання[ред.ред. код]

Словесне[ред.ред. код]

  • 1 є натуральним числом.
  • Число наступне за натуральним, також є натуральним.
  • 1 не є наступним ні для якого натурального числа.
  • Якщо число a є наступним за числом b та є наступним за числом c тоді b=c.
  • (Аксіома індукції) Якщо деяке твердження доведене для 1 і якщо з припущення що воно вірне для деякого натурального числа випливає, що воно вірне і для наступного за ним числа, то воно є вірним для всіх натуральних чисел.

Математичне[ред.ред. код]

Введемо функцію \ S(x), яка повертає значення числа, наступного після \ x.

  • 1 \in \N
  • a \in \N \rightarrow S(a) \in \N
  • \nexists a \in \N \; (S(a)=1)
  • \ S(b)=a \rightarrow (S(c)=a\rightarrow b=c)
  • P(1) \wedge (\forall n(P(n) \rightarrow P(S(n)) \rightarrow \forall n \in \N (P(n)))

Формалізація арифметики[ред.ред. код]

В формулюванні арифметики в аксіомах Пеано число 1 заміняють числом 0, а також вводить операції додавання і множення за допомогою наступних аксіом:

  • \ a+0=a
  • \ a+S(b)=S(a+b)
  • a \cdot 0=0
  • a \cdot S(b)=a + (a \cdot b)