Аксіоми віддільності

Визначення топологічного простору задовільняє дуже широкий клас множин. Зокрема, множини, топологія яких мало подібна на топологію метричного простору. Тому, на топологічні простори часто накладають додаткові умови, зокрема, аксіоми віддільності.

Відомі аксіоми віддільності крім імені мають також символьне позначення: T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ і т. д. Буква T в цих позначеннях походить від нім. Trennungsaxiom, що означає аксіома віддільності.

T₀ — аксіома Колмогорова

Для двох довільних різних точок $\ x$ та $\ y$ хоча б одна повинна мати окіл, що не містить другу точку.

T₁ — аксіома Тихонова

Для двох довільних різних точок $\ x$ та $\ y$ повинен існувати окіл точки $\ x$, що не містить точку $\ y$ та окіл точки $\ y$, що не містить точку $\ x$.

T₂ — аксіома Хаусдорфа

Для двох довільних різних точок $\ x$ та $\ y$ повинні існувати околи $U(x)$ та $V(y)$, що не перетинаються.

T₃

Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існують їх околи, що не перетинаються.

Простори, що задовільняють аксіоми T₁ та T₃, називаються регулярними просторами.

T_3½

Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існує неперервна числова функція, рівна нулю на множині і одиниці у точці. Простори, що задовільняють аксіоми T₁ та T_3½ називаються повністю регулярними просторами чи тихоновськими просторами.

T₄

Для двох довільних замкнутих множин, що не перетинаються існують їх околи що не перетинаються.

Простори, що задовільняють аксіоми T₁ та T₄, називаються нормальними просторами.

Література

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии

Дивись також

• Сепарабельність
• Принцип віддільності