Алгебраїчна незалежність

Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай $L$ - деяке розширення поля $K$ . Елементи $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ з коефіцієнтами з поля $K$

P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0

.

У іншому випадку елементи $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли $L$ — кільце і $K$ — його підкільце.

Приклад[ред. | ред. код]

Підмножина $\{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}$ поля дійсних чисел $\mathbb {R}$ не є алгебраїчно незалежною над полем $\mathbb {Q}$ , оскільки многочлен $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і $P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0$ .