Алгебраїчна система

Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебраїчних систем.

Формально: об'єкт $\ <A; \; \Omega_F; \; \Omega_R>,$ де:

• $\ A$ — непорожня множина,
• $\ \Omega_F$ — множина алгебраїчних операцій визначених на $\ A,$
• $\ \Omega_R$ — множина відношень визначених на $\ A.$

Множина $\ A$ називається носієм алгебраїчної системи. Множини $\ \Omega_F, \Omega_R$ називається сигнатурою алгебраїчної системи.

Якщо алгебраїчна система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебраїчна система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури $\ \Omega_F$.

Для алгебраїчних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись Гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебраїчну систему називають топологічною алгебраїчною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебраїчні конструкції описуються алгебраїчними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебраїчні операції

$\ n$-арна операція $\ f$ на $\ A$ — це відображення прямого добутку $\ n$ екземплярів множини в саму множину $\ f: A^n \to A$. За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебраїчних систем

M = магма, Q = квазігрупа, S = напівгрупа,
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого

• Множина може вважатись виродженою алгебраїчною системою с порожньою сигнатурою.

Групо-подібні структури

• Магма(Групоїд) — множина з однією бінарною операцією $\ \cdot$, зазвичай її називають множенням.
• Права квазігрупа — групоїд, в якому можливе праве ділення,

тобто рівняння $x \cdot a = b$ завжди має єдиний роз'вязок $\forall a,b \in A.$

• Квазігрупа — одночасно права і ліва квазігрупи.
  • Лупа(Петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа): $\exist e \in A: \; a\cdot e = e \cdot a = a.$
• Напівгрупа — асоціативний групоїд: $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b)\cdot c.$
  • Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
• Група — моноїд з діленням чи асоціативна лупа: $\forall a \;\; \exist a^{-1}: \;\; a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.$
• Абелева група — комутативна група: $a\cdot b = b \cdot a.$

Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.

Кільце-подібні структури

• Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
• Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева группа по додаванню, моноїд по множенню,

виконується дистрибутивний закон: $a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$.

• Комутативне кільце — кільце з комутативним множенням.
  • Цілісне кільце — комутативне кільце без дільників нуля (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю).
    • Булеве кільце — кільце, всі елементи якого є ідемпотентами. Воно є комутативним та немає дільників нуля.
• Кільце з діленням (чи Тіло) — кільце, де ненульові елементи утворюють группу по множенню.
• Поле — комутативне кільце з діленням.

Модулі

• Модуль над кільцем — абелева группа по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією «множення на скаляр» з кільця.
• Векторний простір — модуль над полем.

Алгебри

• Алгебра над кільцем (алгебра) — модуль над комутативним кільцем, що утворює кільце з білінійним множенням.
• Алгебра над полем — векторний простір с білінійною дистрибутивною операцією множення.
• Комутативна алгебра — алгебра з комутативним множенням.
• Асоціативна алгебра — алгебра з асоціативним множенням.
• Альтернативна алгебра — алгебра з тотожністю альтернативності для множення: $\ (xx)y=x(xy), \quad y(xx)=(yx)x.$
• Алгебра термів
• Градуйована алгебра
• Алгебра Лі — алгебра з антикомутативним множенням (позначаємим $\ [a,b]$), що задовільняє тотожність Якобі $\ [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.$
• Алгебра Йордана — комутативна алгебра з тотожністю слабої асоціативності: $\ x^2(yx)=(x^2y)x$
• Алгебра Мальцева — антикомутативна алгебра з тотожністю

$\ (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$

• Алгебра над операдою — одна з найбільш загальних алгебраїчних систем. Сама операда грає роль сигнатури алгебри.

Решітки

• Напівґратка
  • Ґратка (Решітка) — структура с двома бінарними операціями ∨ і ∧, що є комутативними, асоціативними і задовільняють закон поглинання: a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a.
    • Алгебра Гейтінга
    • Дистрибутивна ґратка
      • Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.
        • Алгебра логіки.

Література

• А. Г. Курош «Общая алгебра», — М.: Мир, 1973, 162 с
• П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
• А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М.: Наука, 1970. — 392 c.