Алгебраїчна система

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебраїчних систем.

Формально: об'єкт \langle A; \; \Omega_F; \; \Omega_R \rangle, де:

Множина \ A називається носієм алгебраїчної системи. Множини \ \Omega_F, \Omega_R називається сигнатурою алгебраїчної системи.

Якщо алгебраїчна система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебраїчна система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури \ \Omega_F.

Для алгебраїчних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебраїчну систему називають топологічною алгебраїчною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебраїчні конструкції описуються алгебраїчними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

\ n-арна операція \ f на \ A — це відображення прямого добутку \ n екземплярів множини в саму множину \ f: A^n \to A. За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебраїчних систем[ред.ред. код]

M = магма, Q = квазігрупа, S = напівгрупа,
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого
  • Множина може вважатись виродженою алгебраїчною системою з порожньою сигнатурою.

Групо-подібні структури[ред.ред. код]

тобто рівняння x \cdot a = b завжди має єдиний роз'вязок \forall a,b \in A.
Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.

Кільце-подібні структури[ред.ред. код]

  • Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
  • Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева группа по додаванню, моноїд по множенню,
виконується дистрибутивний закон:  a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.

Модулі[ред.ред. код]

Алгебри[ред.ред. код]

\ (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x

Решітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • А. Г. Курош «Общая алгебра», — М.: Мир, 1973, 162 с
  • Кон П. (1968). Универсальная алгебра. Москва: Мир. с. 351. 
  • А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М.: Наука, 1970. — 392 c.