Алгебраїчна топологія

Алгебраїчна топологія (застаріла назва: «комбінаторна топологія») — розділ топології, який вивчає топологічні простори шляхом зіставлення їм алгебраїчних об'єктів, а також поведінку цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.

Основна ідея

Методи алгебраїчної топології засновані на припущенні, що алгебраїчні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія бордизмів або $K$-теорія) для алгебраїчної топології важливі гомотопічні групи $\pi_n(X)$. З них головною є $\pi_1(X)$ — так звана фундаментальна група, на відміну від груп всіх інших розмірностей що можуть бути неабелевими.

Теорема Брауера (приклад)

Як приклад застосування методів алгебраїчної топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут $D_n$ означає замкнена $n$-вимірна куля, $S_{N-1}$ — її $(n-1)$-вимірна границя (сфера):

Будь-яке неперервне відображення $f$ $n$-вимірної кулі $D_n$ у себе має нерухому точку, тобто таку точку $x$, що $f(x)=x$

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує неперервного відображення $g$ $n$-вимірної кулі $D_n$ на свою границю $S_{n-1}$ такого, що $g(x)=x$ для всіх точок границі (що називається ретракцією)

Дійсно, якщо у відображенні $f$ немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення $g$ кулі на сферу провівши для кожної точки кулі $x$ промінь, що виходить з $f(x)$ і проходить через $x$ (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою $S_{n-1}$ позначимо через $y$ і покладемо $g(x)=y$. Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо $x$ належить сфері, то $g(x)=x$. Ми отримали ретракцію кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція $g$. Позначимо $i$ — вкладення сфери в кулю $i(x)=x$. Маємо:

добуток відображень $gi=\mathrm{id}$ — тотожне відображення сфери (спочатку $i$, потім $g$). Одним з найголовніших інструментів алгебраїчної топології є так звані групи гомології (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору $X$ відповідає в кожній розмірності $n$ своя абелева група гомології $H_n(X)$, а кожному неперервному відображенню $f:X\to Y$ відповідає гомоморфізм груп $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$, причому добутку відображень $fg$ відповідає добуток гомоморфізмів $f_*g_*$, а тотожному відображенню $\mathrm{id}$ відповідає тотожний ізоморфізм $\mathrm{id}_*$. (Мовою теорії категорій це означає, що група гомології є коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що $H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}$, а $H_{n-1}(D_n)=0$. Тоді відображення $g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1})$ буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки $gi=\mathrm{id}$, маємо $g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}$ — є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебраїчні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

Історія

Деякі теореми алгебраїчної топології були відомі ще Ейлеру, наприклад, що для всякого опуклого многоранника з числом вершин $V$, ребер $E$ і граней $F$ має місце $V-E + F = 2$.

Топологічними питаннями цікавилися Гаус і Ріман.

Але основну роль у створенні алгебраїчної топології як науки зіграв Пуанкаре — саме йому належать поняття симпліціальної гомології та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод, Ейленберг, Серр, Том, Атія, Хірцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Мілнор, Квіллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягін, Люстерник, Рохлін, Новіков, Фоменко, Концевич, Воєводський, Перельман.

Література

• Hatcher A. Algebraic Topology
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

Див. також

• Топологія