Алгебрично замкнуте поле

Алгебрично замкнуте поле — поле $\Bbb K$, у якому довільний многочлен ненульового степеня над $\Bbb K$ має хоч би один корінь.

Еквівалентні визначення

Деяке поле $\Bbb K$ є алгебрично замкнутим, якщо і тільки якщо виконуються такі твердження:

• Усі незвідні многочлени над полем $\Bbb K$ мають степінь 1.
• Кожен многочлен є добутком многочленів степеня 1.
• Кожне лінійне відображення $\Bbb K^n \to \Bbb K^n$ має власний вектор.

Пов'язані визначення

• Для будь-якого поля існує єдине з точністю до ізоморфізму його алгебричне замикання, тобто його алгебричне розширення, що є алгебрично замкнутим.

Властивості

• У алгебрично замкнутому полі $\Bbb K$, кожен многочлен степеня n має рівно n (з урахуванням кратності) коренів $\Bbb K$. Інакше кажучи, кожний незвідний многочлен з кільця многочленів $\Bbb K[x]$ має степінь 1.
• Скінченні поля не можуть бути алгебрично замкнутими. Дійсно, якщо розглянути многочлен, коренями якого є всі елементи поля і додати 1, то одержаний многочлен не матиме коренів у даному полі.

Приклади

• Многочлен з цілими коефіцієнтами x² + 1 = 0 має тільки комплексні корені, тому ні раціональні числа ні дійсні не є алгебрично замкнутими.
• Алгебричним замиканням поля дійсних чисел, є поле комплексних чисел. Його алгебрична замкнутість встановлюється основною теоремою алгебри.
• Алгебричним замиканням поля раціональних чисел, є поле комплексних алгебричних чисел.

Див. також

• Замикання (математика)
• Кільце многочленів

Література

• ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — С. 623. — Москва : Наука, 1975. ISBN 5-8114-0552-9.
• Ленг С. Алгебра. — С. 564. — Москва : Мир, 1968.