Алгебра Кліфорда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра Кліфорда — це унітарна асоціативна алгебра, що містись і утворена за допомогою векторного простору V з квадратичною формою Q. Її можна розглядати як одне з можливих узагальнень комплексних чисел та кватерніонів.

Теорія алгебр Кліфорда тісно пов'язана з теорією квадратичних форм і ортогональних перетворень. Алгебра Кліффорда має важливі додатки в різних областях, в тому числі геометрії та теоретичної фізики. Вона названа на честь англійського математика Вільяма Кліфорда.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо Vвекторний простір над полем K, та Q : VKквадратична форма на V, тоді

алгебра Кліфорда \mathcal{C}\ell(V,Q) це «найбільш вільна» алгебра створена векторним простором V, для якої справедливо:

v^2 = Q(v)1\ \qquad \forall v \in V.

Якщо характеристика базового поля K не рівна 2, можна переписати попередню рівність як:

uv + vu = 2\lang u, v\rang \qquad \forall u,v \in V,

де <u,v> = \frac{1}{2}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))симетрична білінійна форма асоційована з Q поляризаційною тотожністю.

Квантування зовнішньої алгебри[ред.ред. код]

Якщо Q = 0, тоді алгебра Кліфорда Cℓ(V,Q) є зовнішньою алгеброю Λ(V). Для ненульових Q існує канонічний лінійний ізоморфізм між Λ(V) та Cℓ(V,Q). Що є ізоморфізмом векторних просторів, але з не одинаковими операціями множення. Множення Кліфорда є багатшим за зовнішній добуток, оскільки враховує інформацію з Q.

Універсальна властивість і побудова[ред.ред. код]

Алгебра Кліфорда Cℓ(V,Q) — унітарна асоціативна алгебра над K з лінійним відображенням i : V → Cℓ(V,Q) що задовільняє умову i(v)2 = Q(v)1 для всіх v ∈ V, визначена наступною універсальною властивістю:

якщо задана асоціативна алгебра A над K та лінійне відображення j : V → A таке що j(v)2 = Q(v)1 для всіх v ∈ V (де 1 означає одиницю в A),
тоді існує єдиний гомоморфізм алгебр f : Cℓ(V,Q) → A такий, що наступна діаграма є є комутативною (тодто f o i = j):
 \begin{matrix} V & \to & \mathcal{C}\ell(Q) \\ \downarrow & \swarrow &\\ A && \end{matrix}

Алгебра Кліфорда, як описано вище, завжди існує і може бути побудована так: в найзагальнішій алгебрі що містить V, а саме в тензорній алгебрі T(V), виберемо фактор-кільце двосторонніх ідеалів IQ утворене всіма елементами виду

v\otimes v - Q(v)1, \qquad \forall v \in V.

Тобто Cℓ(V,Q) = T(V)/IQ.

Очевидно, що Cℓ(V,Q) містить V і задовільняє універсальну властивість, отже є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Базис і розмірність[ред.ред. код]

Якщо {e1,…,en} є базисом в V, тоді набір добутків

\{e_{i_1} \cdot e_{i_2} \cdot \ldots \cdot e_{i_k} : 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n, 0\le k\le n\}

є базисом в Cℓ(V,Q). Порожній добуток (k = 0) визначимо як одиничний елемент. Для кожного значення k є число комбінацій з n по k базисних елементів, тому загальна розмірність алгебри Кліфорда

\dim C\ell(V,Q) =\sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n.

Виберемо тільки такі базиси, які ортогональні відповідно до Q:

\langle e_i, e_j \rangle = 0 \qquad i\neq j,

тобто:

e_ie_j = -e_je_i \qquad i\neq j. \,

Якщо характеристика поля не рівна 2, тоді ортогональний базис для V існує, і можна поширити квадратичну форму Q на Cℓ(V,Q) вимагаючи щоб елементи e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k} були ортогональними якщо відповідні {ei} є ортогональними. Також визначимо:

Q(e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k}) = Q(e_{i_1})Q(e_{i_2})\cdots Q(e_{i_k}).

Тобто ортогональний базис V розширюється до ортогонального базиса Cℓ(V,Q). Квадратична форма визначена вище, насправді, буде незалежною від вибору базиса.

Приклади[ред.ред. код]

Найважливішими алгебрами Кліфорда є ті, що побудовані на дійсних чи комплексних векторних просторах з невиродженими квадратичними формами. Геометрична інтерпретація таких алгебр відома як геометрична алгебра.

Невироджена квадратична форма дійсного векторного простору приводиться до діагональної форми:

Q(v) = v_1^2 + \cdots + v_p^2 - v_{p+1}^2 - \cdots - v_{p+q}^2

де n = p + q є розмірністю простору. Пара чисел (p, q) називається сигнатурою квадратичної форми. Такі дійсні векторні простори позначають Rp,q. Алгебра Кліфорда породжена Rp,q позначається Cℓp,q(R). Символ Cℓn(R) означає або Cℓn,0(R) або Cℓ0,n(R).

Ортонормований базис {ei} в Rp,q складається з p векторів з нормою +1 та q векторів з нормою −1. Алгебра Cℓp,q(R) тому матиме p векторів з квадратами +1 та q векторів з квадратами −1.

Зокрема C0,0(R) природньо ізоморфна до R так як нема ненульових векторів. C0,1(R) двовимірна алгебра утворена єдиним вектором e1 з квадратом −1, і тому ізоморфна до C, поля комплексних чисел. Алгебра C0,2(R) чотиривимірна алгебра утворена векторами {1, e1, e2, e1e2}. Останні три елементи мають квадрат −1 і є антикомутативними, тобто алгебра ізоморфна до кватерніонів H. Наступна алгебра C0,3(R) є восьми вимірною алгеброю ізоморфною до прямої суми HH називаємої спліт-бікватерніонами.

Невироджена квадратична форма векторного векторного простору приводиться до діагональної форми:

Q(z) = z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_n^2

де n = dim V, тобто є одна алгебра Кліфорда кожної розмірності. Позначається як Cn(C) і може бути отримана «комплексифікацією» алгебри Cℓp,q(R) де n = p + q:

C\ell_n(\C) \cong C\ell_{p,q}(\R)\otimes \C \cong C\ell(\C^{p+q},Q\otimes\C).

Де Q дійсна квадратична форма сигнатури (p,q). Косплексифікація не залежить від сігнатури.

Перші декілька прикладів:

Cl0(C) = C
Cl1(C) = CC
Cl2(C) = M2(C)

де M2(C) — алгебра матриць 2×2 над C.

Довільна алгебра Cp,q(R) та Cn(C) є ізоморфною матричній алгебрі в R, C, чи H або прямій сумі двох таких алгебр.