Алгебра Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра Лі — векторний простір, на якому визначена операція комутації. Для елементів алгебри визначені лінійні операції — додавання і множення на число (існує дійсна і комплексна алгебри Лі — з множенням відповідно на дійсні та комплексні числа). Операція комутування зіставляє будь-яким двом елементам алгебри X,Y третій [X,Y]. Ця операція білінійна (лінійна по кожному з елементів), антисиметрична [X,Y] = - [Y,X] і задовільняє тотожності Якобі:

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0.

Поняття алгебри Лі виникло у зв'язку з вивченням груп Лі, оскільки елементи групи Лі можна представляти у вигляді експонент від елементів алегбри Лі (базисні елементи в цьому разі називатимуться генераторами відповідної групи). Якщо група Лі реалізована як група матриць, то відповідна їй алгебра Лі теж є матричною. Це означає, що кожний елемент алгебри є матрицею, а операція комутування визначення як звичайний комутатор .

Література[ред.ред. код]