Алгебра Лі

Алгебра Лі — векторний простір, на якому визначена операція комутації. Для елементів алгебри визначені лінійні операції — додавання і множення на число (існує дійсна і комплексна алгебри Лі — з множенням відповідно на дійсні та комплексні числа). Операція комутування зіставляє будь-яким двом елементам алгебри $X,Y$ третій $[X,Y]$. Ця операція білінійна (лінійна по кожному з елементів), антисиметрична $[X,Y] = - [Y,X]$ і задовільняє тотожності Якобі:

$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0$.

Поняття алгебри Лі виникло у звязку з вивченням груп Лі, оскільки елементи групи Лі можна представляти у вигляді експонент від елементів алегбри Лі (базисні елементи в цьому разі називатимуться генераторами відповідної групи). Якщо група Лі реалізована як група матриць, то відповідна їй алгебра Лі теж є матричною. Це означає, що кожний елемент алгебри є матрицею, а операція комутування визначення як звичайний комутатор .

Література

• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М: Мир, 1969.
• Ресурси фізико-математичної бібліотеки сайту EqWorld .
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М: ИЛ, 1962 (djvu).
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М: ИЛ, 1960 (djvu)