Алгебра Мальцева

В абстрактній алгебрі, алгебра Мальцева (чи алгебра Муфанг — Лі) над полем — неасоціативна алгебра що є антисиметричною, тобто

$xy = -yx\$

і задовольняє властивість Мальцева

$(xy)(xz) = ((xy)z)x + ((yz)x)x + ((zx)x)y.\$

Алгебри Мальцева вперше були введені Анатолієм Мальцевим у 1955 році.

Варіанти визначення

• Рівність $xy = -yx\$ для всіх елементів x,y еквівалентна $x^2 = 0\,$ для всіх x.
• Якщо визначити $\ J(x,y,z)= (x \cdot y ) \cdot z + (y \cdot z) \cdot x + (z \cdot x) \cdot y,$ то властивість Мальцева можна переписати $\ J(x,y, x \cdot z)=J(x,y,z) \cdot x$

Приклади

• Будь-яка алгебра Лі є алгеброю Мальцева.
• Будь-яка альтернативна алгебра визначає алгебру Мальцева за допомогою добутку Мальцева xy − yx.
• Уявні октоніони з добутком xy − yx утворюють алгебру Мальцева розмірності 7.

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том ./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984