Алгебра над кільцем

Алгебра над кільцем — алгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, а саме в теорії кілець, з операціями додавання, множення та множення на скаляр, така що:

якщо R — комутативне кільце, тоді R-алгеброю (тобто, алгеброю над кільцем R ) є R-модуль, що одночасно є кільцем в якому R-білінійне множення.

Формально $\ (A,+,\times,\cdot)$ — є R-алгеброю, якщо:

$\ (A,+,\cdot)$ — є R-модулем;

$\ (A,+,\times)$ — є кільцем (в деяких авторів асоціативність не вимагається);

$r \cdot (x \times y) = (r \cdot x) \times y = x \times (r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.$

Пов'язані визначення:

• Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R-алгеброю.
• Якщо R є полем, тоді A називається алгеброю над полем.
• Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля.
• Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову: $\|xy\| = \|x\| \|y\| \quad \forall x,y \in A.$

Алгебра над полем

Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над $R$, тобто має базис. Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.

Приклади

• Алгебри над кільцем:
  • довільне кільце можна розглядати як $\Z$—алгебру, оскільки множення на ціле число можна звести до додавання та віднімання,
  • алгебри квадратных матриць,
  • алгебри многочленів
• Алгебри над полем дійсних чисел:
  • Комплексні числа
  • Подвійні числа
  • Дуальні числа
  • Кватерніони
  • Октоніони — не асоціативна алгебра.

Дивись також

• Комутативна алгебра