Алгебрична топологія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчна топологія (застаріла назва: «комбінаторна топологія») — розділ топології, який вивчає топологічні простори шляхом зіставлення їм алгебраїчних об'єктів, а також поведінку цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.

Основна ідея[ред.ред. код]

Методи алгебраїчної топології засновані на припущенні, що алгебраїчні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія бордизмів або K-теорія) для алгебраїчної топології важливі гомотопічні групи  \pi_n(X). З них головною є  \pi_1(X)  — так звана фундаментальна група, на відміну від груп всіх інших розмірностей що можуть бути неабелевими.

Теорема Брауера (приклад)[ред.ред. код]

Як приклад застосування методів алгебраїчної топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут  D_n означає замкнена n-вимірна куля,  S_{N-1} — її (n-1)-вимірна границя (сфера):

Будь-яке неперервне відображення f n-вимірної кулі D_n у себе має нерухому точку, тобто таку точку x, що f(x)=x

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує неперервного відображення g n-вимірної кулі  D_n на свою границю S_{n-1} такого, що g(x)=x для всіх точок границі (що називається ретракцією)

Дійсно, якщо у відображенні f немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення g кулі на сферу провівши для кожної точки кулі x промінь, що виходить з f(x) і проходить через x (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою S_{n-1} позначимо через y і покладемо g(x)=y. Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо x належить сфері, то g(x)=x. Ми отримали ретракцію кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція g. Позначимо i — вкладення сфери в кулю i(x)=x. Маємо:

добуток відображень gi=\mathrm{id} — тотожне відображення сфери (спочатку i, потім g). Одним з найголовніших інструментів алгебраїчної топології є так звані групи гомології (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору  X відповідає в кожній розмірності n своя абелева група гомології H_n(X), а кожному неперервному відображенню f:X\to Y відповідає гомоморфізм груп f_*:H_n(X)\to H_n(Y), причому добутку відображень fg відповідає добуток гомоморфізмів f_*g_*, а тотожному відображенню \mathrm{id} відповідає тотожний ізоморфізм \mathrm{id}_*. (Мовою теорії категорій це означає, що група гомології є коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}, а H_{n-1}(D_n)=0. Тоді відображення g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1}) буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки gi=\mathrm{id}, маємо g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z} — є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебраїчні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

Історія[ред.ред. код]

Деякі теореми алгебраїчної топології були відомі ще Ейлеру, наприклад, що для всякого опуклого многоранника з числом вершин  V, ребер  E і граней  F має місце  V-E + F = 2 .

Топологічними питаннями цікавилися Гаус і Ріман.

Але основну роль у створенні алгебраїчної топології як науки зіграв Пуанкаре — саме йому належать поняття симпліціальної гомології та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод, Ейленберг, Серр, Том, Атія, Хірцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Мілнор, Квіллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягін, Люстерник, Рохлін, Новіков, Фоменко, Концевич, Воєводський, Перельман.

Література[ред.ред. код]

  • Hatcher A. Algebraic Topology
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

Див. також[ред.ред. код]