Алгоритм Борувки

Алгоритм Борувки - це алгоритм пошуку мінімального кістякового дерева в графі.

Історія

Вперше опубліковано 1926 року Отакаром Борувкою як метод пошуку оптимальної електричної мережі в Моравії. Алгоритм кілька разів був перевідкрито, зокрема Флореком, Перкалєм та Солліном. Останній був єдиним західним ученим з цього переліку, тому алгоритм часто називають алгоритмом Солліна, особливо в літературі з паралельних обчислень.

Алгоритм

Робота алгоритму складається з декількох ітерацій, кожна з яких полягає в послідовному додаванні ребер до кістякового лісу графа, доки ліс не перетвориться на дерево, (тобто, ліс, що складається з однієї компоненти зв'язності).

У псевдокоді, алгоритм можна записати так:

1. Нехай спочатку T - порожня множина ребер (являє собою ліс, до якого кожна вершина входить як окреме дерево).
2. Поки T не є деревом (що еквівалентно умові: кількість ребер у T менше, ніж V - 1, де V - кількість вершин у графі):
   • Для кожної компоненти зв'язності (тобто, дерева в кістяковому лісі) у підграфі з ребрами T, знайдемо найдешевше ребро, що пов'язує цю компоненту з будь-якою іншою компонентою зв'язності. Вважаємо, що вага ребер різна, або якось додатково впорядкована так, що завжди можна знайти єдине ребро з мінімальною вагою.
   • Додамо знайдені ребра до множини T.
3. Отримана множина ребер T є мінімальним кістяковим деревом початкового графа.

Складність алгоритму

Під час кожної ітерації (за винятком, можливо, останньої) кількість дерев у кістяковому лісі зменшується вдвічі, тому алгоритм зробить не більше, ніж $\mathop O (\log V)$ ітерацій. Кожна ітерація може бути реалізована зі складністю $\mathop O (E)$, тому загальний час роботи алгоритми становить $\mathop O (E \log V)$ (V та E - відповідно кількість вершин та ребер у графі).

Для деяких видів графів, зокрема, планарних, час може бути скорочено до $\mathop O (E)$. Існує також рандомізований алгоритм побудови мінімального кістякового дерева, заснований на алгоритмі Борувки, що працює в середньому за лінійний час.

Див. також

• Алгоритм Крускала
• Алгоритм Прима