Аналітичні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Аналіти́чні фу́нкції —функціі, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

[ред.] Визначення

Однозначна функція f називається аналітичною в точці z₀, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, який збігається до функції f (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція $f (x)$ дійсного аргументу $x$ називається аналітичною функцією x у точці $x$ числової осі, якщо можна вказати такий окіл (x₀ — h; х₀ + h) точки х₀, в якому f(x) визначена і може бути виражена формулою виду:

$\sum_{k=1}^\infty {a_k (x-x_0)^k}$

де a_k — дійсні числа. Можна показати, що $a 0 = f (x 0)$ , $a_k={1 \over {k!}} {f^k (x_0)}$ , де k=1, 2, 3, 4, ...

(дивись Тейлора ряд).

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу (a, b), наз. А. ф. на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на (а, b), але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

$f(x)=10^{1 \over x^2}$ (-1<x<1)

$f^{k}(0)=\lim_{n \to 0} {f^{k}(x)}=0 \qquad$ (k=1, 2, 3, 4, ...) де

що

не є А. ф. у точці x = 0. Аналогічно визначається дійсна А. ф. кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комилексно-значні функції.

Функцію $f (z)$ комплексного аргументу z = х + iy наз. А. ф. від $z$ у точці z₀ комплексної числової площини, якщо $f (z)$ визначена в певному круговому околі (z — _z0) < ρ точки z₀ і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

$f(z)=\sum_{k=0}^\infty {a_k (z-z_0)^k}$

де $a k$ — певні комплексні числа. Можна показати, що

$a_0=f(z_0) \qquad$ , $a_k={1 \over {k!}} {f^{k}(z_0)}$ (z=1, 2, 3, 4, ...)

(див. Тейлора ряд). Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області $G$ комплексної числової площини, наз А. ф. в області G. Виявляється, що аналітичність f(z) в області G є наслідком звичайної її диференційовності в G А. ф. кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області G функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язанні т. з. плоских задач матем фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

У розвитку теорії А. ф. важливу роль відіграли праці Л. Ейлера, О. Коші, Г. Рімана, К. Вейєршшрасса. В дореволюц. Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали С. В. Ковалевська, М. Є. Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов Після Жовтневої соціалістич. революції великих успіхів у розвитку теорії А. ф. та їх застосувань здобули наук. школи, очолювані акад. АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і проф Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії А. ф. в СРСР тісно пов'язане з потребами народ. господарства (авіабудівництва, будівн. гідротехніч. споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії А. ф. працюють чл.-кореспонденти АН УРСР Н. Т. Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, В. А. Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

[ред.] Література

Українська радянська енциклопедія
Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.

[ред.] Дивись також

Аналітичні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

[ред.] Визначення

[ред.] Література

[ред.] Дивись також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами