Антиголоморфна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Антиголоморфна функція (також антианалітична) — комплексна функція, тісно пов'язана з голоморфною функцією.

Визначення[ред.ред. код]

Функція f, визначена на відкритій підмножині D комплексної площини, називається антиголоморфною, якщо її похідна \frac{d f}{d \bar z} по \bar z (де рискою позначається комплексне спряження)існує в усіх точках цієї множини. Визначення можна також записати аналогічно аналогічно до умов Коші — Рімана:

\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial y} =   \frac{\partial v}{\partial x}

де

f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y), \quad z = x + i y, \quad \{ x,y,u,v \} \sub \mathbb R

Властивості[ред.ред. код]

  • f(z) голоморфна в D тоді і тільки тоді, коли f(\bar z) антиголоморфна в \bar D = \{\bar z | z \in D\}.
  • Функція є антиголоморфною тоді і тільки тоді, коли її можна розкласти за ступенями \bar z у околі кожної точки її області визначення.
  • f(z) голоморфна в D тоді і тільки тоді, коли \bar f(z) антиголоморфна в D.
  • якщо функція одночасно голоморфна і антиголоморфна, то вона є константою на будь-якій зв'язаній компоненті її області визначення.

Приклад[ред.ред. код]

Функція \displaystyle z \mapsto \frac{1}{\overline{z}} є антиголоморфною в \mathbb{C}\!\smallsetminus\!\{0\}. Легко перевірити умови голоморфності:

f(z) \,=\, \frac{z}{|z|^2} \,=\, \underbrace{\frac{x}{x^2+y^2}}_{u}+i\underbrace{\frac{y}{x^2+y^2}}_{v},
\frac{\partial u}{\partial x} \;=\; \frac{y^2\!-\!x^2}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad
\frac{\partial v}{\partial y} \;=\; \frac{x^2\!-\!y^2}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad
\frac{\partial u}{\partial y} \;=\; -\frac{2xy}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad
\frac{\partial v}{\partial x} \;=\; -\frac{2xy}{(x^2\!+\!y^2)^2}.

Зрозуміло, що антиголоморфність відразу випливає з того, що дана функція є комплексно спряженою до функції \displaystyle z \mapsto \frac{1}{z}, що є голоморфною у множині \mathbb{C}\!\smallsetminus\!\{0\}.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]