Антиголоморфна функція

Антиголоморфна функція (також антианалітична) — комплексна функція, тісно пов'язана з голоморфною функцією.

Визначення

Функція $f$, визначена на відкритій підмножині $D$ комплексної площини, називається антиголоморфною, якщо її похідна $\frac{d f}{d \bar z}$ по $\bar z$ (де рискою позначається комплексне спряження)існує в усіх точках цієї множини. Визначення можна також записати аналогічно аналогічно до умов Коші — Рімана:

$\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$

де

$f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y), \quad z = x + i y, \quad \{ x,y,u,v \} \sub \mathbb R$

Властивості

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли $f(\bar z)$ антиголоморфна в $\bar D = \{\bar z | z \in D\}$.
• Функція є антиголоморфною тоді і тільки тоді, коли її можна розкласти за ступенями $\bar z$ у околі кожної точки її області визначення.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли $\bar f(z)$ антиголоморфна в $D$.
• якщо функція одночасно голоморфна і антиголоморфна, то вона є константою на будь-якій зв'язаній компоненті її області визначення.

Приклад

Функція $\displaystyle z \mapsto \frac{1}{\overline{z}}$ є антиголоморфною в $\mathbb{C}\!\smallsetminus\!\{0\}$. Легко перевірити умови голоморфності:

$f(z) \,=\, \frac{z}{|z|^2} \,=\, \underbrace{\frac{x}{x^2+y^2}}_{u}+i\underbrace{\frac{y}{x^2+y^2}}_{v},$

$\frac{\partial u}{\partial x} \;=\; \frac{y^2\!-\!x^2}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} \;=\; \frac{x^2\!-\!y^2}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} \;=\; -\frac{2xy}{(x^2\!+\!y^2)^2}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} \;=\; -\frac{2xy}{(x^2\!+\!y^2)^2}.$

Зрозуміло, що антиголоморфність відразу випливає з того, що дана функція є комплексно спряженою до функції $\displaystyle z \mapsto \frac{1}{z}$, що є голоморфною у множині $\mathbb{C}\!\smallsetminus\!\{0\}$.

Див. також

• Голоморфна функція

Посилання

• Антиголоморфна функція на сайті PlanetMath. (англ.)