Антисиметричне відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Властивості бінарних відношень:
\forall a,b,c \; \in{X}:

рефлексивність (a R a) \!
антирефлексивність \lnot(a R a) \!

симетричність a R b \Rightarrow b R a \!
асиметричність a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)

антисиметричність a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b
транзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c
антитранзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow \lnot(a R c)

повнота a R b \vee b R a \!


В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, якщо a відноситься до b і b відноситься до a, то a = b.

Формально:

\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b
\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot  R(b,a) .

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:

A \subseteq B \and B \subseteq A \Rightarrow A = B

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

Приклади[ред.ред. код]

  • Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ab та ba одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.
  • Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
  • Антисиметричним відношенням на підмножині цілих чисел буде відношення ділення. Якщо, a ділить b та b діліть a, то a = b.

Властивості[ред.ред. код]

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» (" = \! ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» (" \le \! ").