Антисиметричне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c \; \in{X}:$

рефлексивність $(a R a) \!$
антирефлексивність $\lnot(a R a) \!$

симетричність $a R b \Rightarrow b R a \!$
асиметричність $a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)$

антисиметричність $a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b$
транзитивність $a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c$
антитранзитивність $a R b \wedge b R c \Rightarrow \lnot(a R c)$

повнота $a R b \vee b R a \!$

В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, якщо a відноситься до b і b відноситься до a, то a = b.

Формально:

$\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b$

$\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a) .$

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x справджуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи , тоді:

$A \subseteq B \and B \subseteq A \Rightarrow A = B$

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

Приклади

Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності, адже a ≤ b та b ≤ a одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.

Властивості

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» (" $= \!$ ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» (" $\le \!$ ").