Антисиметричний тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензор називається антисиметричним за двома індексами i та j, якщо він змінює знак при перестановці цих індексів:

T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots}

Якщо тензор змінює знак при перестановці будь-якої пари індексів то такий тензор називається абсолютно антисиметричним тензором.

Для будь-якого тензора U, з компонентами U_{ijk\dots}, можна побудувати симетричний і антисиметричний тензор за правилом:

U_{(ij)k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}) (симметрична частина),

U_{[ij]k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots}) (антисиметрична частина),

аналогічно для інших індексів.

Під терміном «частина» мається на увазі, що U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}

Властивості[ред.ред. код]

Згортка тензора A, що є антисиметричним за індексами i і j з тензором B, що є симетричним за индексами i та j, рівна нулю. Доведення:

A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=A_{(ji)k\dots}B_{[ji]k\dots}
=-A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=0.

Важливий антисиметричний тензор у фізиці — тензор електромагнітного поля F.

Див. також[ред.ред. код]