Апроксимація Паде

Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає в поданні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначаються коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання

$f(z) = c_n + c_1z + c_2z^2 + \ldots$

то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти $a_i$ і $b_i$ і отримати апроксимант

$\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}.$

Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося в фундаментальний метод дослідження.

Історія

Авторство Паде грунтується на його дисертації 1892 (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Апроксимант Паде

Нехай є розкладання функції $f (z)$ у степеневий ряд Тейлора:

$f(z) = \sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i}$, де $c_i$ — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

$[L/M] = \frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M},$

розкладання якої в ряд Макларена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції $f (z)$ до тих пір, поки це можливо. Функція такого виду має $L+1$ коефіцієнтів в чисельнику і $M+1$ — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначається з точністю до спільного множника, для визначенності нехай $b_0=1$. Тоді маємо $L+M+1$ незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Макларена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для $1,z,z^2,\ldots,z^{L+M}$, тобто для формального ряду виконується

$\sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i}=\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}+O(z^{L+M+1}).$

Узагальнення

• Багатоточкові апроксимації Паде
• Апроксимації Бейкера-Гаммеля
• Апроксимація функції декількох змінних
• Матричні апроксимації Паде
• Апроксимація Паде-Чебишева
• Апроксимація Паде-Фур'є

Див. також

• Анрі Паде
• Таблиця Паде
• Апроксимація

Джерела

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 5.12 Padé Approximants», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd вид.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=245 
• Saff, E.B.; Varga, Richard S. (1977), «Pade and Rational Approximation: Theory and Applications.», Proceedings of an International Symposium Held at the University of South Florida (Academic Press), ISBN 0-12-614150-9 
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Padé Approximant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Module for Padé Approximation, John H. Mathews California State University, Fullerton
• Padé Approximants, Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project
• A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval
• Data Analysis BriefBook: Pade Approximation, Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN
• Sinewave, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.