Апроксимація Паде

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає в поданні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначаються коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання

f(z) = c_n + c_1z + c_2z^2 + \ldots

то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти  a_i і  b_i і отримати апроксимант

\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}.

Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося в фундаментальний метод дослідження.

Історія[ред.ред. код]

Авторство Паде грунтується на його дисертації 1892 [1] (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Апроксимант Паде[ред.ред. код]

Нехай є розкладання функції  f (z) у степеневий ряд Тейлора:

f(z) = \sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i}, де  c_i — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

[L/M] = \frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M},

розкладання якої в ряд Макларена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції  f (z) до тих пір, поки це можливо. Функція такого виду має  L+1 коефіцієнтів в чисельнику і  M+1 — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначається з точністю до спільного множника, для визначенності нехай  b_0=1 . Тоді маємо  L+M+1 незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Макларена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для 1,z,z^2,\ldots,z^{L+M} , тобто для формального ряду виконується

\sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i}=\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}+O(z^{L+M+1}).

Узагальнення[ред.ред. код]

  • Багатоточкові апроксимації Паде[2][3]
  • Апроксимації Бейкера-Гаммеля[3]
  • Апроксимація функції декількох змінних[3]
  • Матричні апроксимації Паде[4]
  • Апроксимація Паде-Чебишева[3]
  • Апроксимація Паде-Фур'є[3]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnellesThèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892
  2. [1]
  3. а б в г д Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  4. Xu, Guoliang; Bultheel, Adhemar. Matrix Padé-approximation - definitions and properties, Linear Algebra and Its Applications, volume 137, pages 67-136, 1990

Джерела[ред.ред. код]

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 5.12 Padé Approximants», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd вид.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=245 
  • Saff, E.B.; Varga, Richard S. (1977), «Pade and Rational Approximation: Theory and Applications.», Proceedings of an International Symposium Held at the University of South Florida (Academic Press), ISBN 0-12-614150-9 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

Посилання[ред.ред. код]